1.2.2Задача № 4. Перемешивание стали в разливочном ковше /4/.

После выпуска стали в ковш, до начала разливки по формам, происходит естественная конвекция расплава. Конвекция характеризуется двумя безразмерными критериями – Грасгофа и Прандтля , где - ускорение силы тяжести, ; - характерный размер ковша, м; - коэффициент расширения жидкости, град^-1; - разность температур металла в ковше, град; - кинематическая вязкость жидкости, . Критерий Грасгофа характеризует свойства жидкости в ковше, а критерий Прандтля – физические свойства самой жидкости.

Предположим, что перемешивание стали в ковше моделируют на сосуде, заполненном горячей водой. Определим критерий Прандтля для стали и воды. Для стали ; ; критерий Прандтля . Для воды при 20 ⁰С , а при 70 ⁰С ; коэффициент температуропроводности в обоих случаях принят одним и тем же . Критерий Прандтля для воды при 20 ⁰С , а при 70 ⁰С . Сравнение критериев Прандтля для стали (0,15) и для воды при различных температурах (6,95 и 2,7) показывает, что моделирование перемешивания стали в ковше с помощью воды будут приближенными. В этом случае моделирование можно провести только по критерию Грасгофа.

В задаче рассматривается моделирование перемешивания стали в 40-тонном ковше с диаметром и высотой расплава 2 м. Вычислим критерий Грасгофа для этого ковша. Принимаем коэффициент расширения стали град^-1, а перепад температур в ковше 100 ⁰С. Значение критерия Грасгофа

.

Известно, что при поток расплава турбулентен. Значение для стали в разливочных ковшах , поэтому поток расплава в ковше всегда турбулентен.

При моделировании было принято, что температура внутренней поверхности ковша есть величина постоянная, равная температуре кристаллизации стали. Модель ковша была сделана в виде кессона, охлаждаемого проточной водой, а в ковш заливали горячую воду с температурой . Приняли, что температура охлаждающей воды у стенки и температура воды соприкасающейся со стенкой, равны друг другу и составляют .

Задача состоит в том, чтобы найти:

1) диаметр модели ковша при условии равенства критериев Грасгофа для 40 – тонного ковша стали и горячей воды в модели ( );

2) диаметр модели ковша из условия, что расплав в ковше турбулентен, т.е. .

Таблица 2.4 – Многовариантные задания к задаче № 4 по моделированию перемешивания стали в ковше.

Вариант	tx, 0C	tг, 0C	Vx, см3/г	Vг, см3/г	ν, м2/с
1	2	3	4	5	6
1	10	30	1,0003	1,0044	1,01×10-6
2	10	35	1,0003	1,0060	0,96×10-6
3	10	40	1,0003	1,0078	0,90×10-6
4	10	45	1,0003	1,0099	0,84×10-6
5	10	50	1,0003	1,0121	0,81×10-6
6	10	55	1,0003	1,0145	0,78×10-6
7	10	60	1,0003	1,0171	0,72×10-6
8	10	65	1,0003	1,0198	0,66×10-6
9	10	70	1,0003	1,0227	0,65×10-6
10	15	35	1,0009	1,0060	0,90×10-6
11	15	40	1,0009	1,0078	0,84×10-6
12	15	45	1,0009	1,0099	0,81×10-6
1	2	3	4	5	6
13	15	50	1,0009	1,0121	0,78×10-6
14	15	55	1,0009	1,0145	0,72×10-6
15	15	60	1,0009	1,0171	0,66×10-6
16	15	65	1,0009	1,0198	0,65×10-6
17	15	70	1,0009	1,0227	0,635×10-6
18	20	40	1,0018	1,0078	0,81×10-6
19	20	45	1,0018	1,0099	0,78×10-6
20	20	50	1,0018	1,0121	0,72×10-6
21	20	55	1,0018	1,0145	0,66×10-6
22	20	60	1,0018	1,0171	0,65×10-6
23	20	65	1,0018	1,0198	0,635×10-6
24	20	70	1,0018	1,0227	0,60×10-6
25	25	45	1,0029	1,0099	0,72×10-6
26	25	50	1,0029	1,0121	0,66×10-6
27	25	55	1,0029	1,0145	0,65×10-6
28	25	60	1,0029	1,0171	0,635×10-6
29	25	65	1,0029	1,0198	0,60×10-6
30	25	70	1,0029	1,023	0,575×10-6

П р и м е ч а н и е. В столбцах 2 и 3 таблицы приведены температуры холодной и горячей воды; в столбцах 4 и 5 – удельные объемы холодной и горячей воды; в столбце 6 – кинематическая вязкость воды.

Пример решения варианта I.

В выражение для критерия Грасгофа входит произведение . В табл. 2.4 приведены данные для вычисления и удельные объемы воды при разных температурах. Из физики известна зависимость между объемом воды, величиной и значением .

,

где - удельный объем горячей воды ( );

- удельный объем холодной воды ( ).

Из приведенного выражения

Критерий Грасгофа для модели можно записать следующим образом:

По условию

1. Принимаем, что , тогда

или ;

;

м.

2. Если (турбулентный поток), то

;

м.

Ответ: характерный размер модели может быть в пределах

м