8.8. Графические способы расчета регулирования

Графический прием расчета отличается иллюстративной нагляд­ностью, позволяющей лучше понять сущность и проследить процесс регулирования стока. Этот способ применяют чаще всего для пред­варительных и вспомогательных расчетов, а также в особо сложных случаях водохозяйственного проектирования.

Основу графического способа составляет построение интеграль­ных кривых стока и потребления, которые изображают в хроноло­гической последовательности нарастание объемов стока, потребле­ния или их разности.

Исходным материалом для построения интегральной кривой сто­ка служит гидрограф стока расчетной обеспеченности (рис. 8.9, а). Площадь элементарной полоски с основанием dt и высотой Q чис­ленно равна элементарному объему стока:

(8.19)

Тогда объем стока за время ti от начала отсчета равен (рис. 8.9, б)

(8.20)

247

Вычисляют последовательно объем стока W_lt W₂, ..., W_n за со­ответствующие отрезки времени 0—*₁₍ 0—1₂, ..., Q—t_n и на график в прямоугольной системе координат W, t наносят соответствующий ряд точек. Линия, соединяющая эти точки, представляет собой ин­тегральную (суммарную) кривую стока, характеризующую измене­ние суммарного стока нарастаю­щим итогом за рассматриваемый период времени. Эту кривую на­зывают полной интегральной кри­вой стока.

Рис. 89. Гидрограф стока и пол­ная интегральная кривая

Рис. 8.10. Полная интегральная кривая (а) и лучевой масштаб (б)

_Объем стока за конечный интервал времени Af/ равен AW_{ = = QAti, где О — средний расход за интервал At:. Тогда суммзпный

Полная интегральная кривая в прямоугольных координатах ха­рактеризуется следующими свойствами (рис. 8.10):

1. Каждая ордината кривой соответствует суммарному стоку за период от начала наблюдения (построения) до рассматриваемого момента времени.

2. Разность ординат двух точек кривой представляет объем сто­ ка AWi за интервал времени между ними Ati.

3. Тангенс угла наклона ф к оси абсцисс линии, соединяющей две любые точки кривой Л и В (секущей интегральную кривую в этих точках), равен среднему расходу Q в интервале времени Ы_А-в 248

между этими точками:

(8.21)

4. При совмещении точки В с точкой Л секущая обращается в касательную, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен расходу qa в точке касания:

(8.22)

Выражения (8.21) и (8.22) могут быть использованы для опре­деления расхода воды по интегральной кривой, если 1 м³ и 1 с име­ют одинаковые масштабы, что практически встречается весьма ред­ко из-за больших колебаний объемов стока. Обозначив масштаб объемов m_w, а масштаб времени m_t> можно выразить длины отрез­ков ВС и АС на рис. 8.10 в виде BC=&W/m_w и AC=At/m_t. Подста­новкой полученных значений отрезков ВС и АС в формулу (8.21) получают

ИЛИ

(8.23)

(8.24)

Построение полной интегральной кривой выполняют на основе предварительно составленной вспомогательной таблицы (табл. 8.3) или с помощью лучевого масштаба.

Лучевой масштаб представляет собой специальный чертеж, поз­воляющий построить полную интегральную кривую стока, или по­требления, не прибегая к вычислению или суммированию объемов стока или потребления. При построении лучевого масштаба (см. рис. 8.10) через произвольно выбранную точку О' (полюс лучевого масштаба) проводят горизонтальную линию, на которой отклады­вают отрезок O^fR = p, где р — полюсное расстояние, из конца отрез­ка O'R строят вертикальную линию RN. Если через точку О' прове­сти линию О'М, параллельную секущей ЛВ, то из подобия тре­угольников O'MR и ABC следует, что MR/p = BC/AC=AW/&t=Q, откуда RM = pQ. Следовательно, прямые, проведенные из полюса

Таблица 8.3. Определение ординат интегральной кривой стока в прямоугольных координатах

Расход, Q, М3/С	Интервал времени Д/, с	Объем стока в интервале ДЙ^, м3	Суммарный объем стока нарастающим итогом 2 W, и3

249

лучевого масштаба параллельно секущим или касательным к инте­гральной кривой, отсекают на оси RN отрезки, пропорциональные соответствующим расходам и равные соответствующим объемам сгока. Тогда линии RN может быть условно названа шкалой рас­ходов. С другой стороны, RM = p-ig ф. Заменяя tg cp согласно (8.23), получают RM/p = Qm_t/tn_w, откуда

Аналогично предыдущему введем понятие масштаба расхода Q = MRm_Q. Тогда

(8.25)

При этом все масштабы niQ, т\у и nit должны быть выражены в од­них и тех же линейных единицах — сантиметрах или миллиметрах. Лучевой масштаб позволяет выполнить графическим способом построение интегральной кривой при пользовании ступенчатым хро­нологическим графиком расходов (рис. 8.11) и затем провести ее анализ. Выбрав удобные для использования масштабы triQ, rriw и

Рис 811 Построение полной шпегралышй кри вой с помощью лучевого масштаба

а — шдрограф, б — лучевой масштаб расходов воды, в — полная шпеиральная кривая

nil, находят полюсное расстояние р по выражению (8.25) и па шка­ле расходов откладывают объемы стоков рассматриваемого рас­четного периода, подписывая значения соответствующих расходов. Далее из полюса лучевого масштаба ко всем полученным точкам на шкале расходов проводят лучи Затем из точки начала коорди­нат О для первого расчетного интервала времени t\ проводят отре­зок О-1 параллельно лучу / на лучевом масштабе, соответствую­щему расходу Q\. Далее из конца отрезка 0-1 проводится отрезок 1-2 параллельно лучу //, соответствующему расходу второго ин­тервала Qz, таким же образом выполняют построение за весь рас-

250

сматриваемый период. Полученная ломаная линия 0-1-2-...-п и является полной интегральной кривой стока или потребления.

Лучевой масштаб можно использовать и для решения обратной задачи — определения расходов воды по имеющейся интегральной кривой. Для этого на лучевом масштабе из полюса О' проводят луч, параллельный секущей или касательной на заданном отрезке или заданной точке интегральной кривой, и затем по шкале расходов лучевого масштаба RN методом интерполяции определяют искомый расход (см. рис. 8 10).

Точность построения интегральной кривой и определения рас­ходов с помощью лучевого масштаба зависит от точности выпол­нения графических построений.

На практике предпочтительно интегральную кривую стока стро­ить по предварительно вычисленным значениям объемов стока W_l =

t —п

= 'У* QAt_l (см. табл. 8.3), используя которую можно построить

i=i

лучевой масштаб расходов. Интегральную кривую потребления строят на том же чертеже, что и интегральную кривую стока, уже непосредственно по лучевому масштабу, ч го облегчает рассмот­рение нескольких вариантов недопотребления.

Итак, при водохозяйственном расчете водохранилища на одном графике совмещают две интегральные кривые: стока Wt и потреб-

Рис. 8.12. Схема к графическому способу определения полезного объема водо­хранилища при сопоставлении интегральных кривых стока и отдачи

251

ления (отдачи) LJ_t (рис. 8.12, а). Названные интегральные кривые используют, как правило, для расчетов полезного объема водохра­нилища без учета потерь, т. е. V_Us_e,_n, так как графический учет по­терь весьма сложен.

На основании свойства (/) интегральной кривой, построенной в прямоугольных координатах, конечная ордината кривой стока FB выражает объем годового стока, конечная ордината кривой отдачи FD равна годовому водопотреблению. Если конечная ордината кри­вой стока превышает конечную ординату кривой потребления, т. е. U<W_P%, то регулирование возможно (см. выше). Разность этих ординат определит суммарный сброс (м³) из водохранилища: Vev=(FB-FD).

Начало построения интегральных кривых стока и отдачи совме­щается с началом водохозяйственного года, т. е. началом половодья. Рассмотрение отдельных участков интегральной кривой стока в со­поставлении с интегральной кривой требуемой отдачи показывает, что в начальный период времени О ... t\ наклон интегральной кривой стока (отрезок ОА) к оси абсцисс для всех расчетных интервалов времени на отрезке О ... t\ круче интегральной кривой отдачи (отре­зок ОЕ), т. е. расходы притока больше расходов потребления. В итоге объем месячного стока превышает объем месячной отдачи я образуется избыток стока Al/_SUriv (см. рис. 8.12, а). Это положение сохраняется до момента времени t\, после чего на отрезке времени /1.../2 наклон интегральной кривой стока к оси абсцисс (отрезок АВ) меньше наклона интегральной кривой отдачи (отрезок ED или AC\\ED), т. е. расходы потребления больше расходов притока. В итоге объем месячного потребления превышает объем месячного стока и образуется дефицит стока AVde/x (рис. 8.12, б). Наличие избытков и дефицитов стока в отдельные месяцы при общем пре­вышении годового объема стока над объемом требуемой отдачи свидетельствует о необходимости и возможности регулирования стока при наличии водохранилища соответствующего объема.

Для определения объема избытков и дефицитов стока на инте­гральной кривой стока из точек, соответствующих началу месячных интервалов, проводят отрезки, параллельные интегральной кривой отдачи на участках, соответствующих месячным интервалам. Раз­ность конечных месячных ординат интегральной кривой стока и кривой отдачи показывает объемы месячных избытков и дефицитов стока. На интегральной кривой стока (рис. 8.12, а) значения избыт­ков стока в пределах месячных интервалов показаны ординатами вертикально заштрихованных треугольников. Суммарный объем из­бытков выразится отрезком АЕ, равным разности ординат кривой стока и кривой потребления в момент окончания периода t\, т. е. окончания периода избытков стока.

Значения объемов дефицитов в пределах месячных интервалов показаны ординатами горизонтально заштрихованных треуголь­ников, что сделано на фрагменте чертежа (рис. 8.12,6).

252

Для определения суммарного объема дефицитов интегральную кривую отдачи перемещают параллельно самой себе * вертикально сверху вниз до тех пор, пока не коснется интегральной кривой сто­ка (рис. 8.12, а, точка Л), при этом необходимо следить за тем, что­бы не смещалась ось ординат и вертикальные границы интервалов времени. Точка А соответствует моменту времени, когда наблюда­ется равенство расходов притока и отдачи, после чего начинается период дефицита стока. Аналогичным образом, перемещая инте­гральную кривую отдачи снизу вверх, находят момент касания кри­вых в точке В. Этот момент также соответствует равенству расхо­дов притока и отдачи и является концом периода дефицита стока. Таким образом, слева от точки касания А и справа от точки каса­ния В находят области избыточного стока, а между ними — область дефицитов стока Вертикальное расстояние ВС между верхней ка­сательной А¹ А" и последующей нижней касательной В'В" равно суммарному дефициту за интервал времени 1\ ... t₂. Суммарный де­фицит определяет полезный объем водохранилища (случай одно-тактной работы водохранилища при одной группе избытков и од­ной группе дефицитов за год) без учета потерь. Таким образом, в случае однотактной работы водохранилища полученный объем его равен вертикальному расстоянию между касательными, проведен­ными параллельно интегральной кривой требуемой отдачи в нача­ле дефицита (верхняя касательная) и в конце его (нижняя каса­тельная).

Определение полезного объема водохранилища с помощью ин­тегральных кривых стока и отдачи при двух- и многотактной работе выполняют аналогично. Для выявления периодов дефицитов к ин­тегральной кривой стока на совмещенном чертеже проводят верх­ние и нижние касательные, параллельные интегральной кривой от­дачи.

Графический расчет полезного объема водохранилища при двух­тактной его работе с независимым циклом на постоянную отдачу (для упрощения примера) приведен на рис. 8.13, а.

Необходимый полезный объем водохранилища V_use, n равен наи­большему вертикальному расстоянию между предыдущей верхней С'С" и последующей нижней D' D" касательными, проведенными к интегральной кривой стока параллельно интегральной кривой от­дачи. При этом верхняя касательная С'С" не должна пересекать кривую стока до точки нижнего касания последующего цикла. В противном случае пара касательных С'С" и D'D" не будет опреде­лять максимальный дефицит стока, как, например, касательные А'А" и В'В".

В случае двухтактной работы водохранилища с зависимым циклом на постоянную отдачу (рис. 8.13,6) верхняя касательная А'А" к кривой стока не пересекает ее вплоть до конца года. Полез-

* Для удобства работы интегральную кривую отдачи лучше скопировать на кальку.

253

Рис. 8.13. Графический способ определения полезного объема водохранилища с помощью полных интегральных кривых сто­ка и отдачи при двухтактной работе с независимым и зависи­мым циклами

ный объем водохранилища при этом равен сумме дефицитов AVde/i и AVdefz за вычетом объема избытка AV_sur2, наблюдавшегося в пе­риод времени между этими дефицитами, и по определению зависи­мого цикла работы водохранилища, меньшего AVde/2, т. е.

Полезный объем водохранилища в этом случае равен сумме вертикальных расстояний между касательными А'А" и В'В" и ка­сательными С'С" и D'D" за вычетом вертикального расстояния между касательными С'С" и В'В".

Рис. 8.14. Графический способ определения полезного объема водохранилища с помощью пол­ных интегральных кривых сто­ка и отдачи при переменном во-допотреблении

В случае неравномерной отдачи, когда интегральная кривая отдачи является не прямой, а ломаной ли­нией, методика выполнения графи­ческого расчета и построения оста­ется без принципиальных изменений (рис. 8.14). Интегральную кривую отдачи перемещают параллельно са­мой себе вертикально сверху вниз до тех пор, пока какая-либо ее точка не совпадет с интегральной кривой стока (точка М), при этом по обе стороны от этой точки кривая по­требления должна лежать выше кривой отдачи. Подобным же обра­зом перемещением интегральной кривой отдачи снизу вверх находят

254

нижнюю общую точку (точку касания N). Полезный объем водо­хранилища равен наибольшему вертикальному расстоянию между интегральной кривой стока и отдачи на участке между точками касания.

Интегральные кривые стока дают возможность для решения об­ратной задачи при регулировании стока, когда при заданном стоке и полезном объеме водохранилища требуется определить зарегу­лированный расход отдачи.

Применение интегральных кривых в прямоугольных координатах в достаточно крупном масштабе для достижения большей точности и наглядности неудобно. С увеличением объемов стока вертикаль­ная шкала удлиняется, что приводит к значительному росту разме­ров чертежа, в то время как площадь координатного поля исполь­зуется только частично. В проектной практике чаще применяют сокращенную (разностную) интегральную кривую (суммарную), ко­торую можно рассматривать как полную интегральную кривую в косоугольных координатах.

Если нанести на гидрограф стока линию, параллельную оси абс­цисс, соответствующую некоторому постоянному расходу Q₀ (рис. 8.15, а), и вычесть этот расход из всех расходов (Qw—Qo), то по­лучают разности, сумма которых равна

(8.26)

или

(8.27)

где W(t) — ордината полной интегральной характеристики в пря­моугольных координатах для переменного расхода Q_w', W₀(t) — ордината аналогичной полной интегральной кривой для постоянно­го расхода, которая имеет вид наклонной прямой.

Откладывая величины разности W_Sh в прежних координатах объ­ем— время, получаем сокращенную интегральную кривую стока (рис. 8.15,6).

Сокращенная интегральная кривая имеет следующие основные свойства:

1. Ордината сокращенной кривой равна разности полной инте­гральной кривой стока расхода Qw и полной интегральной кри­вой для постоянного расхода Qo, совмещенного с осью времени (рис. 8.15, в). Так как Q₀ = const для всего расчетного интервала времени (год), то интегральная кривая стока W₀(t) (OB) есть прямая линия, тогда как интегральная кривая W_Sh(t) меняющегося во времени расхода (ОА) на гидрографе будет плавной кривой.

255

Рис. 8.15. Гидрограф, интегральные кривые в прямоугольных и косо­угольных координатах и лучевой масштаб

2. Разность двух ординат сокращенной интегральной кривой (для моментов t₂ и t₃) равна

(8.28)

т. е. стоку за выделенный интервал времени W(t₃)—W(t_z) за выче­том объема воды, вычисленного за тот же период по постоянному расходу Q₀(*3—t_z].

3. Тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к сокращенной интегральной кривой, выражает разность расходов AW_sh/M = Q_w—Q₀, что следует из (8.26).

Аналогично, тангенс угла наклона секущей к оси ^бсцисс даст среднее значение разности (Q_w—Q₀) или разность (Q_w—Qo)-

При dW/dt = 0 сокращенная интегральная кривая имеет макси­мум или минимум (точки перегиба), при этом Q_w = Qo.

256

В случае dW/dt>0 тангенс угла наклона касательной положи­тельный (кривая поднимается) и Q_№>Q₀. Если же dW/dt<0, тан­генс отрицательный (кривая опускается) и Q_w^Qo-

Очевидно, если принять Qo равным среднему расходу за весь рассматриваемый период (т. е. год при сезонном регулировании), то конечная точка интегральной кривой W_Sh(t) =0 будет лежать на оси абсцисс.

Представим теперь сокращенную интегральную кривую не в пря­моугольных (рис. 8.15, в), а в косоугольных координатах (рис. 8.15, г) Согласно выражению (8.26), ординаты сокращенной (раз­ностной) интегральной кривой равны вертикальным отрезкам меж­ду линией ОА (полная интегральная кривая) и прямой ОБ (инте­гральная кривая при постоянном расходе). Поворотом чертежа во­круг начала координат О по часовой стрелке совмещают линию 0В с осью абсцисс О'В' (рис. 8.15, г), при этом прежняя ось абсцисс ОС займет наклонное положение О'С', составляя с осью ординат уже не прямой, а тупой угол, отсюда и название «косоугольные коор­динаты». Кривая О А' является перестроенной полной интегральной кривой стока гидрографа Q = Q(t) в косоугольных координатах. Любой вертикальный отрезок M'N' между О'А' и О'С' равен от­резку MN между О А и ОС.

Таким образом, кривая О А' представляет собой полную интег­ральную кривую в координатных осях ОС', OW и сокращенную ин­тегральную кривую в координатах OB', OW. Последнюю кривую О А' называют интегральной кривой стока в косоугольных коорди­натах.

Для контроля построений и удобства отсчета полных ординат на рис. 8.15,г проводят ряд прямых, параллельных О'С', соответст­венно круглым значениям объемов стока на оси O'W. Эти парал­лельные линии служат косоугольной координатной сеткой шкалы объемов и позволяют определить полный сток на сокращенной ин­тегральной кривой без дополнительных построений. Обычно косо­угольная сетка не наносится, так как при практических расчетах достаточно иметь ординаты сокращенной интегральной кривой.

Для построения и использования ib расчетах регулирования сто­ка сокращенной (разностной) интегральной кривой соответственно перестраивают и лучевой масштаб (рис. 8.15, д). Полюс масштаба О' перемещается вверх по шкале расходов на величину Q₀ в точку О". Затем точка О" соединяется лучами с точками, соответствую­щими различным расходам на шкале расходов. Теперь линия 0"Q₀ соответствует среднему расходу за расчетный интервал Qo, а не ну­левому расходу, как было в прямоугольных координатах. Направ­ление луча 0"R соответствует расходу, равному нулю. Лучи, про­веденные параллельно касательным или секущим к сокращенной кривой, будут соответствовать расходам в момент касания или среднему расходу за интервал времени между точками, через ко­торые проведена секущая.

9-1324 257

Рис. 8.16. Графический способ определения полезного объема во­дохранилища по сокращенным кривым притока и отдачи

Преимуществом сокращенной ин­тегральной кривой стока является отчетливое изображение характер­ных фаз стока — половодья и меже­ни, многоводных и маловодных пе­риодов при общей наглядности и нормальных размерах чертежа.

Для определения полезного объ­ема водохранилища с помощью ин­тегральных кривых в косоугольных координатах совмещают на одном чертеже сокращенную интегральную кривую стока и сокращенную интег­ральную кривую отдачи (рис. 8.16). При этом

⁽⁸'²⁹⁾

или

(8.30)

где L/sh—ордината сокращенной интегральной кривой отдачщ U(/)—ордината полной интегральной кривой отдачи; Qu—рас­ход отдачи, м³/с.

Принимая Qo равным среднему расходу притока за год расчет­ной обеспеченности, получают ординату сокращенной интегральной кривой стока в конце годового интервала, равной нулю.

Используя изложенный выше графический прием совмещения интегральных кривых стока и отдачи, определяют дефицит стока. Полезный объем водохранилища находят как наибольшее верти­кальное расстояние между сокращенной интегральной кривой по­требления U_Sh и сокращенной интегральной кривой стока W_Sh вну­три интервала времени между верхней и нижней точками касания этих кривых при условии, что интегральная кривая потребления не пересекает интегральную кривую стока на этом участке.