4.9. Корреляция

Природные гидрологические процессы обусловлены большим числом факторов, поэтому полный учет их оказывается невозмож­ным. В гидрологических расчетах при установлении причинно-след­ственных связей среди множества факторов выделяют главные, вносящие основной вклад в формирование изучаемого явления, ко­торые и определяют основной вид связи. Менее существенные фак­торы создают поле рассеяния точек относительно кривых связей основных характеристик. Например, высота весеннего половодья определяется не только запасами воды в снеге, но и количеством весенних осадков, влажностью почвы в предшествующий период времени, наличием ледяной корки на почве и т. д. Так как учесть все эти факторы практически невозможно, зависимость между мак­симальными уровнями воды половодья и запасами воды в снеге имеет приближенный характер.

Как правило, в гидрологии связи, наблюдающиеся между гидро­логическими явлениями, являются не функциональными, а корре­ляционными (взаимосвязанными). При корреляционной зависимо­сти каждому значению независимой переменной х соответствует бесчисленное множество значений другой величины у (функции), описываемое условно кривой распределения. При функциональной зависимости каждому значению аргумента х соответствует одно, вполне определенное значение функции у.

При изучении гидрологических характеристик встречаются преи­мущественно корреляционные зависимости, имеющие прямолиней­ный характер, т. е. графически они выражаются прямыми линиями.

Прямую линию, проведенную по нанесенным на график точкам так, чтобы сумма квадратов отклонений от нее ординат у точек бы­ла наименьшей, называют линией регрессии у по х. Прямая, соот­ветствующая наименьшей сумме квадратов отклонений от нее абс­цисс х, носит название линии регрессии х по у. Точка пересечения линий регрессии соответствует средним значениям переменных х ну.

Количественная оценка степени связанности двух переменных величин х и у характеризуется коэффициентом корреляции

(4.48)

127

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от —1 до 4-1. Положительное значение коэффициента корреляции свидетельству­ет о прямой связи, когда обе величины х и у возрастают или убы­вают одновременно. Отрицательное значение коэффициента корре­ляции указывает на увеличение х при уменьшении у и наоборот, что соответствует обратной связи. При функциональной связи коэф­фициент корреляции равен 1. Если связь между переменными от­сутствует, коэффициент корреляции равен 0. Считается, что корре­ляционная связь является достаточной тесной, если R~^0,80.

Среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции при достаточно большом числе членов ряда я(я]>25) определяют по формуле

(4.49)

При малом числе членов ряда оценку достоверности (неслучай­ности) коэффициента корреляции следует произвести определением коэффициента достоверности Кл , который равен отношению коэф­фициента корреляции к средней квадратической ошибке:

(4.50)

Значение /Сд<1 указывает на отсутствие корреляционной связи; при 3>^Сд>1 существует тенденция связи этих величин; значение Кд>3 свидетельствует о достоверности коэффициента корреляции.

Линейную корреляционную связь аналитически можно предста­вить уравнениями регрессии у по х (4.51) и х по у (4.52)

(4.51)

(4.52)

где х, у — средние значения х и у; R— коэффициент корреляции; Ox, fs_y — средние квадратические отклонения ряда х и ряда у.

Коэффициенты Ray/Ox и Ra_x/a_y называют коэффициентами рег­рессии. Первый из них представляет собой угол наклона прямой регрессии к оси абсцисс, второй—-угол наклона прямой регрессии к оси ординат.

Критерием точности уравнения регрессии служат абсолютные среднеквадратические ошибки Д|,, и Д|* в определении х и у по уравнениям (4.51) и (4.52), которые вычисляют по формулам

(4.53)

(4.54)

Аппарат линейной корреляции в гидрологических расчетах ис­пользуют для приведения параметров рядов гидрологических ха­рактеристик, определенных по короткому ряду, к параметрам дли-

128

тельного ряда. При этом имеется в виду, что характеристика (аргу­мент) имеет более продолжительный ряд наблюдений, чем подле­жащая определению гидрологическая величина (функция).

Для установления корреляционной зависимости между несколь­кими переменными, необходимость в которой может возникнуть при изучении многофакторных гидрологических процессов, привлекает­ся аппарат множественной корреляции. В указанном случае основ­ные положения метода линейной корреляции двух переменных рас­пространяются на зависимость переменной х от произвольного чис­ла аргументов у,.

При изложении принципиальных положений применения теоре­тических кривых распределения в практике гидрологических расче­тов предполагалось отсутствие каких бы то ни было закономерно­стей в последовательности гидрологических характеристик Иссле­дования показывают, что многолетние ряды годовых величин сто­ка нельзя рассматривать как последовательность независимых слу­чайных величин. Отклонения от среднего многолетнего значения (нормы) в каждом году коррелятивно связаны со стоком предшест­вующих лет. Причины этого явления не раскрыты. Коэффициенты корреляции между величинами стока за смежные и более отдален­ные годы невелики, причем по мере удаления в прошлое связь ос­лабевает.

Корреляцию ряда величин, например средних годовых расходов воды, с этим же рядом, сдвинутым на некоторый интервал време­ни (1, 2, 3 года и т. д.), называют автокорреляцией.

Коэффициент автокорреляции между смежными членами ряда (например, ряд годовых стоков смещается на один год) определя­ют по формуле

(4.55)

где q! — среднее значение исходного ряда; Q₂ — среднее значение совмещенного ряда, т. е. того же ряда, сдвинутого на один год.

Учет автокорреляции является важным вопросом в инженерной гидрологии и водохозяйственной практике в отношении чередова­ния лет разной водности при определении размеров, эффективно­сти и условий работы водохранилищ многолетнего регулирования стока.

Характеру автокорреляционных функций годового стока посвя­щено большое количество исследований как в СССР, так и за ру­бежом, что связано с внедрением в практику гидрологических и водохозяйственных расчетов метода Монте-Карло (математическо-^го моделирования). Следует отметить исследования С. Н. Крицко-го и М. Ф. Менкеля, Е. Г. Блохинова, А. Ш. Резниковского,

5—1324 129

Г. Г. Сванидзе, Г. П. Калинина, А. И. Чеботарева и А. В. Рож­дественского, И. С. Ждановой, Д. Я. Ратковича и др.

Существующая в настоящее время продолжительность наблюде­ний за речным стоком не дает возможности определить автокорре­ляционную функцию достаточно надежно, по имеющимся рядам на­блюдений. По данным Д. Я. Ратковича, связь между смежными членами рядов годового стока незарегулированных больших и сред­них рек оценивается коэффициентом автокорреляции, равным 0,30... ...0,35.