4.8. Оценка точности расчета параметров кривых

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Одной из основных задач математической статистики примени­тельно к гидрологическим расчетам является получение наиболее правильных выводов об исследуемом процессе в период эксплуата­ции гидротехнических сооружений на основании ограниченных во времени наблюдений за речным стоком. Очевидно, что по ограни­ченным выборкам гидрометрических наблюдений невозможно точ­ное описание общих вероятностных закономерностей, свойственных не только данной выборке наблюдений, а процессу в целом (гене­ральной совокупности). Определение выборочных параметров рас­пределения— среднего арифметического значения х, коэффициента вариации C_v и коэффициента асимметрии C_s — осуществляется всегда с теми или иными погрешностями. Различают два вида оши­бок: случайные и систематические.

Случайные ошибки зависят от принятого закона распре­деления, от числа параметров, характеризующих это распределе­ние, от объема выборочных данных и наличия внутрирядных связей в последовательности многолетних колебаний гидрологических ха­рактеристик.

Систематические ошибки являются следствием неточ­ности соответствия исследуемого явления принятому закону рас­пределения.

В гидрологической практике о случайных ошибках выборочных параметров судят по их средним квадратическим отклонениям — стандартным ошибкам оценки. Стандартную ошибку среднего арифметического определяют по зависимости

(4.42)

где а — стандартное отклонение, вычисленное по формуле (4.15); п — число членов ряда.

Стандартная ошибка коэффициента изменчивости C_v, вычислен­ного методом моментов, выражается формулой

(4.43)

При использовании метода наибольшего правдоподобия стан­дартная ошибка коэффициента вариации C_v находится по зависи­мости

(4.44)

Стандартная ошибка коэффициента асимметрии, рассчитанного методом моментов, может быть найдена по формуле

(4.45)

123

Средняя квадратическая ошибка коэффициента асимметрии, вычисленная по выражению (4.45) при наиболее распространенных значениях C_v и п, весьма значительна. Для надежного определения коэффициента асимметрии по формуле (4.23) необходимо иметь ряд, состоящий более чем из ста членов, что выполнимо лишь для небольшого числа рек. На практике применяют косвенные приемы установления C_s. Значения коэффициента асимметрии C_s находят по соотношению со значением коэффициента вариации. Эти соот­ношения получают путем подбора на основе сопоставления эмпи­рических и теоретических кривых обеспеченности по различным ре­кам в гидрологически однородном районе.

Результатом наличия систематических ошибок является сме­щенность в оценке выборочных параметров, т. е. расхождение меж­ду средним значением оцениваемой величины (по выборочной оцен­ке определенной продолжительности) и математическим ожидани­ем, возникающее вследствие неодинакового влияния на оценивае­мые характеристики положительных и отрицательных отклонений оценок параметров. Если математическое ожидание больше сред­него значения оценки рассматриваемого параметра, то оценка ока­зывается положительно смещенной, а при обратном соотношении — отрицательно смещенной. Средняя арифметическая величина х ха­рактеризуется несмещенной оценкой. Выборочные же оценки стан­дарта, коэффициента вариации и асимметрии являются отрица­тельно смещенными оценками.

В целях получения несмещенных оценок коэффициенты вариа­ции С₀ и асимметрии C_s для трехпараметрического гамма-распре­деления и биномиального распределения вычисляют методом мо­ментов по формулам

(4.46)

(4.47)

где а\,...,а₆; bi,...,b₆ — коэффициенты, определяемые по табл. 4.2 и 4.3; С_и и C_s — соответственно смещенные коэффициенты вариации и асимметрии, определяемые по формулам (4.20) и (4.23).

Математической статистикой при сопоставлении точности оце­нок выборочных параметров кривых распределения установлено, что метод наибольшего правдоподобия в ряде случаев исключает систематические и уменьшает случайные ошибки. При оценке вы­борочных параметров использование метода моментов рекоменду­ется при невысоких значениях коэффициента вариации С_и<0,5, при больших значениях коэффициента вариации следует применять ме­тод наибольшего правдоподобия, дающий значительно меньшие случайные погрешности.

Формулы случайных ошибок (4.43)...(4.45) выведены в предпо­ложении статистической независимости наблюдений. Наличие внут-рирядной связи между характеристиками стока смежных лет, зна­чительной асимметрии в распределении отдельных характеристик

124

Таблица 4.2. Значения коэффициентов ai в формуле (4.46)

csicv	г (1)	«1	а,	а3	а.	05	as
	0	0	0,19	0,99	—0,88	0,01	1,54
2	0,3	0	0,22	0,99	—0,41	0,01	1,51
	0,5	0	0,18	0,98	—0,41	0,02	1,47
	0	0	0,69	0,98	—4,34	0,01	6,78
3	0,3	0	1,15	1,02	—7,53	—0,04	12,38
	0,5	0	1,75	1,00	— 11,79	—0,05	21,13
	0	0	1,36	1,02	—9,68	—0,05	15,55
4	0,3	—0,02	2,61	1,13	— 19,85	—0,22	34,15
	0,5	—0,02	3,47	1,18	—29,71	—0,41	58,08

Примечание. Коэффициент автокорреляции между смежными членами ряда г (1) определяют но формуле (4.55).

Таблица 4.3. Значения коэффициентов 6,- в формуле (4.47)

г (0	Й1	Ь2	*3	bt	Й5	Ь„
0 0,3 0,5	0,03 0,03 0,03	2,00 1,77 1,63	0,92 0,93 0,92	—5,09 —3,45 —0,97	0,03 0,03 0,03	8,10 8,03 7,94

стока существенно снижают точность расчета. В этих случаях сме­щенность выборочных параметров и стандартная ошибка недоста­точно характеризуют точность расчета. Наиболее полное представ­ление о точности расчета дает распределение вероятностей оценок, которое можно получить методом статистических испытаний (Мон­те-Карло) [8].

Степень соответствия теоретической кривой распределения, по­добранной по статистическим параметрам, эмпирическим 'точкам ряда наблюдений устанавливают графическим приемом. Для этого вычисляют эмпирическую обеспеченность каждого члена ряда по формуле (4.9) и наносят их на график теоретической кривой обе­спеченности. Если эмпирические точки плотно ложатся около по­следней, то, следовательно, она соответствует реальному ряду рас­сматриваемых характеристик. Несоответствие эмпирических точек и теоретической кривой распределения свидетельствует о непра­вильном определении статистических параметров, в первую очередь о неточности коэффициента асимметрии C_s. Изменяя соотношения Cs и C_v, находят новую теоретическую кривую, добиваясь удовлет­ворительного соответствия эмпирических точек и подобранной тео­ретической модели распределения.

Применяемые в гидрологии кривые распределения (обеспечен­ности), построенные в декартовых координатах, имеют довольно

125

сложные выпукло-вогнутые очертания, т. е. большую кривизну на концевых участках, где при незначительных приращениях обеспе­ченности отмечаются большие приращения исследуемой гидрологи­ческой характеристики. Это затрудняет выполнение графического сглаживания и экстраполяцию крайних участков кривых в зоне малых и больших обеспеченностей, представляющих наибольший интерес при гидрологических расчетах. Поэтому для устранения этой чисто технической трудности применяют специальную клетчат­ку вероятности, позволяющую полностью спрямить кривую обеспе­ченности.

Для построения клетчатки вероятности шкалу обеспеченности или шкалу случайной переменной (гидрологической характеристи­ки) трансформируют таким образом, чтобы в системе прямоуголь­ных координат рассматриваемый интегральный закон распределе­ния (кривая обеспеченности) выражался прямой линией. На рис. 4.10 представлена схема построения клетчатки вероятности нор­мального закона распределения. Для примера принята кривая обе­спеченности / модульных коэффициентов (/(<) с параметрами Я=

Рис. 4.10. Схема построения клетчатки вероятности нор­мального закона распределения

= 1; С₀=1; C_s=0, изображенная в декартовых координатах в ле­вой части графика. Так как кривая обеспеченности при C_S = Q пре­образуется в прямую, то новая шкала обеспеченности получается путем трансформации шкалы абсцисс через прямую 2, расположен­ную в правой части графика, как это показано стрелками. Угол на­клона прямой определяет масштаб шкалы обеспеченности. В лите­ратуре по гидрологии эту клетчатку называют клетчаткой вероят­ности с умеренной асимметричностью (C_s^2C_a). При значениях C_s=^=0 кривые обеспеченности, построенные на клетчатке вероятно­сти, имеют вид плавных кривых линий, причем величина прогиба их увеличивается с возрастанием C_s. При положительной асиммет­рии (C_s>0) кривые обеспеченности имеют вогнутое относительно оси обеспеченностей очертание, а при отрицательной (C_s<0) —вы­пуклое.

126

Клетчатка вероятности с умеренной асимметричностью (C_s^ -<2С₀) имеет равномерную вертикальную шкалу, чаще всего при­меняемую для расчетов годового стока. Для построения кривых со значительной асимметричностью (C_S>2C_V) используют клетчатку вероятностей с логарифмической вертикальной шкалой (обычно при расчетах максимального стока).