4.7. Теоретические кривые распределения

Эмпирические кривые распределения вероятностей, построенные по фактическим наблюдениям ограниченного числа лет, не дают возможности решать задачу за пределами этих наблюдений. Осо­бенно слабо освещаются данными наблюдений верхний и нижний участки кривой, характеризующие наибольшее и наименьшее зна­чения какой-либо гидрологической характеристики; в то же время именно эти участки и являются наиболее важными в расчетах ха­рактеристик стока. Непосредственная экстраполяция (продление) кривых распределения связана с элементами субъективизма, что может привести к значительным ошибкам. Нет и теоретически стро­гих обоснований для вывода уравнений кривых распределения гидрологических характеристик. Поэтому в гидрологических расче­тах при решении практических задач в целях сглаживания и экс­траполяции эмпирических кривых распределения применяют типо­вые математические кривые, наиболее полно отражающие харак­тер изменчивости гидрологи­ческих характеристик.

Для аналитического опи­сания кривой распределения (повторяемости) гидрологи­ческих характеристик ис­пользуют законы распреде­ления случайных величин.

Рис. 4.7. Асимметричная кривая распределе­ния вероятностей: / — центр распределения; 2 — медиана; 3 — мода

Обычно на практике при графическом изображении этой кривой ось частот на­правляют вертикально, ось

величин —• горизонтально. На оси абсцисс (рис. 4.7) от­мечают три характерные

точки: точка I — центр распределения, соответствует среднему зна­чению ряда; точка 2—медиана, делит ранжированный ряд на две равные части; точка 3 — мода, соответствует наибольшей ордина­те кривой повторяемости в случае одного максимума и определяет наибольшую частоту случайной величины. Соответствующие харак­терным точкам ординаты называют центральной, медианной и мо­дальной.

Формы кривой повторяемости в зависимости от особенностей формирования статистических совокупностей могут быть симмет­ричными и асимметричными. При симметричном распределении

112

частоты любых двух значений характеристик, равноудаленных в обе стороны от среднего значения, равны между собой. В этом слу­чае все три характерные точки совпадают. При асимметричном распределении частоты характеристик, расположенных от средне­го значения с одной стороны, систематически больше или меньше частот характеристик, расположенных с другой стороны и равно­удаленных от среднего значения. В асимметричных кривых, к ко­торым относится распределение большинства гидрологических ха­рактеристик, ординаты характерных точек не совпадают. Расстоя­ние г_а между центральной и модальной точками называют радиу­сом асимметрии, которое служит показателем степени асимметрич­ности кривой.

Параметрами симметричной кривой повторяемости являются среднее арифметическое значение переменной и среднее квадратич­ное отклонение (или коэффициент вариации). Среднее арифметичес­кое переменной величины представляет собой значение (центр), от­носительно которого распределяются члены данного статистическо­го ряда, и определяется по формуле

(4.13)

где xi — значения рассматриваемой величины (i=\,...,n); п — число членов ряда.

Если члены ряда представлены в безразмерном виде, т. е. в мо­дульных коэффициентах К>₁=х_г/х, то среднее арифметическое зна-

При безграничном увеличении числа членов в статистическом ря­ду среднее арифметическое значение его стремится к среднему арифметическому генеральной совокупности, называемому матема­тическим ожиданием. Применительно к рядам гидрологических ха­рактеристик понятие «математическое ожидание» является услов­ным, так как гидрологических рядов наблюдений бесконечной дли­ны не существует. В инженерных гидрологических расчетах поня­тие «математическое ожидание» подразумевается на отрезке вре­мени продолжительностью несколько десятков или сотен лет.

Характеристикой изменчивости величин в ряду может служить абсолютное отклонение, рассчитываемое по формуле

(4.14)

113

Из-за определенных недостатков этой характеристики изменчи­вости наиболее часто используют среднее квадратическое отклоне­ние, или стандарт,

(4.15)

который сохраняет размерность исследуемого ряда наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение а, подсчитанное по выбо­рочной совокупности, отличается от истинного значения a_g гене­ральной совокупности на величину средней ошибки 8, обусловлен­ной недостаточной продолжительностью гидрологических рядов. В математической статистике доказывается, что

Тогда

(4.16)

(4.17)

Как показали расчеты, величина ошибки среднего квадратического отклонения выборочного ряда уменьшается при увеличении числа членов ряда и при л>30 может не учитываться, т. е. а_х в этом слу­чае вычисляется по формуле (4.15); при л<30 а_х вычисляется по формуле (4.17).

Для сравнения степени изменчивости отдельных статистических рядов, например годовых стоков разных (по абсолютной величине расходов) рек, удобно выразить среднее квадратическое отклонение в долях от среднего арифметического значения. Это отношение по­лучило название коэффициента вариации (изменчивости)

(4.18)

В гидрологических расчетах коэффициент вариации наиболее часто (при л<30) вычисляют по формуле

(4.19)

Заменяя xi/x на модульный коэффициент Кг, получают значение коэффициента вариации в безразмерном виде:

(4.20)

Несимметричные кривые распределения ряда, свойственные ря­дам гидрологических характеристик, характеризуются тремя пара­метрами: средним арифметическим, коэффициентом вариации и

114

средним значением отклонений членов ряда от его среднего ариф­метического значения в кубе (или коэффициентом асимметрии)

(4.21)

В симметричных рядах разные по величине положительные и отрицательные отклонения повторяются одинаково часто. Третьи степени этих отклонений получаются с разными знаками и, взаим­но уравновешиваясь, дают в сумме ноль.

Когда положительные отклонения (многоводные годы) повто­ряются реже, чем отрицательные (маловодные годы), а наиболее часто встречающееся значение переменной величины (мода) мень­ше среднего арифметического значения, говорят о положительной асимметрии. При обратном соотношении наблюдается отрицатель­ная асимметрия. При положительной асимметрии положительные отклонения немногочисленны, но больше по величине в сравнении с более многочисленными, но менее значительными по величине от­рицательными отклонениями, поэтому сумма кубов отклонений бу­дет положительной. Для получения безразмерного выражения ха­рактеристики изменчивости ряда среднее значение кубов отклоне­ний делят на куб среднего квадратическога отклонения и получают коэффициент асимметрии

(4.22)

Заменив а=С_ах, для безразмерного ряда получим

(4.23)

Кроме выражения (4.21) в математической статистике применя­ют другую характеристику изменчивости или скошенности кривой распределения (повторяемости). Коэффициент асимметрии опреде­ляют в зависимости от коэффициента скошенности

(4.24)

где х_р%, Хюо-р% — ординаты кривой распределения, расположенные на равном расстоянии по оси абсцисс от точки медианы (х$о%). На­пример, при расчетах годового стока при использовании формулы (4.24) принимают равноудаленные ординаты с обеспеченностью 5 к 95% или 3 и 97% и т. д.

Характеризующие кривую, распределения вероятности выраже­ния для среднего арифметического значения, среднего квадратиче-ского отклонения и куба его среднего отклонения называют момен­тами.

115

Моментами отдельных ординат кривой распределения называют произведения этих ординат на расстояние до той ординаты, отно­сительно которой ведется исчисление. Моменты, определяемые от­носительно начала кривой распределения, называют начальными или нулевыми: М_(п = у,х_{. Моменты, определяемые относительно точки I, соответствующей среднему арифметическому значению ря­да или центра распределения, называют центральными: М_с1 = =у,(х₁—х).

Принимая площадь кривой распределения или 2z/,- за единицу, моменты случайной величины ж, можно записать в общем виде: на­чальный момент k-н степени или &-го порядка

(4.25)

что представляет собой среднее значение х в &-й степени; централь­ный момент k-ro порядка

(4.26)

что представляет собой среднее значение отклонений отдельных x_t от их средней величины х в степени k.

Основные параметры кривой распределения вероятностей (х, C_v и C_s) связаны с начальным моментом М₀ и центральным моментом М_с следующими равенствами:

4. Коэффициент асимметрии равен третьему центральному мо­менту, деленному на второй центральный момент в степени 3/2:

1. Среднее арифметическое значение равно первому начальному моменту: х=M₀i.

2. Среднее квадратическое отклонение равно квадратному кор­ ню из второго центрального момента: <з=У M_ci-

3. Коэффициент вариации равен квадратному корню из второго центрального момента, деленному на значение первого начального момента:

Таким образом, M₀i=x характеризует среднюю величину, М₀2 = а² — среднее квадратическое отклонение, M_C3~C_SC_V³ — сте­пень асимметричности.

Метод моментов лежит в основе . выравнивания эмпирических кривых распределения, которое заключается в том, что эмпириче­ская кривая заменяется такой теоретической кривой, моменты пло­щади которой равны моментам площади эмпирической кривой. Из этого следует, что среднее арифметическое значение переменной или первый момент эмпирической кривой приравнивается к перво­му моменту математической кривой. Среднее квадратическое от-

116

клонение, или коэффициент вариации, представляющий собой вто­рой момент эмпирической кривой, приравнивается ко второму мо­менту математической кривой. Коэффициент асимметрии, или тре­тий момент эмпирической кривой, приравнивается к третьему мо­менту математической кривой. Эти положения составляют сущность метода моментов, на основе которого выполняется выравнивание эмпирических кривых распределения с помощью аналитических кривых распределения.

Допускается также, что при соответствии параметров аналити­ческой кривой распределения с аналогичными параметрами эмпи­рической кривой распределения, установленными по материалам наблюдений ряда ограниченной продолжительности, возможно ис­пользование аналитической кривой для экстраполяции эмпириче­ской кривой за пределы наблюденного ряда для определения гид­рологических характеристик редкой повторяемости.

Вопросы теоретического обоснования и определения основных параметров кривых распределения вероятности применительно к исследованиям стоковых характеристик подробно рассматриваются в работе А. В. Рождественского и Л. И. Чеботарева. В практике гидрологических расчетов из множества математических кривых распределения наибольшее распространение получили биномиаль­ная кривая распределения (кривая Пирсона III- типа) и кривые трехпараметрического гамма-распределения, разработанные С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем.

Уравнение биномиальной кривой распределения при начале ко­ординат в точке моды имеет вид

(4.27)

где у — соответственное значение частоты (ордината кривой рас­пределения); г/о — ординаты кривой в точке моды; е — основание натуральных логарифмов; л;—переменные значения исследуемой гидрологической характеристики (абсциссы кривой распределения); г_а — радиус асимметрии; а — расстояние от моды до левого конца кривой повторяемости.

Биномиальную кривую распределения и ее интегральное выра­жение с приемлемой практической точностью определяют тремя па­раметрами: х, С_и и C_s. Их значения вычисляют непосредственно по материалам наблюдений, чаще всего методом моментов.

С целью практического применения кривой Пирсона III типа Фостер произвел приближенное интегрирование уравнения (4.27) Для различных значений коэффициента асимметрии и представил результаты в виде таблицы. В 1938 г. таблица Фостера была уточ­нена С. И. Рыбкиным, затем расширена до более высоких значений коэффициентов асимметрии (до Cs=5,2) сотрудниками ГГИ. В при­ложении 2 приведены отклонения Ф(С„ Р% ) от среднего значения ординат кривой обеспеченности К_р%, выраженные в долях коэффи-циентя Г... т р

(4.28)

117

Отсюда ордината кривой обеспеченности * равна

(4.29)

По выражению (4.29) находят ординаты К_Р% для различных обеспеченностей Р%, по которым можно построить теоретическую кривую обеспеченности.

Таким образом, найденные по материалам наблюдений коэффи­циент вариации C_v и коэффициент асимметрии C_s позволяют полу­чить сглаженную кривую и при пользовании ею экстраполировать данные наблюдений до заданных значений обеспеченностей.

Очертания теоретических биномиальных кривых распределения в интегральной форме, т. е. кривых обеспеченности, обусловлены

параметрами C_v и C_s. На

а\ рис. 4.8, а приведены бино-

миальные кривые обеспечен­ ности при одном и том же значении параметра коэффи­ циента асимметрии C_S=2C_V, но при различных значениях коэффициента вариации; на рис. 4.8, б приведены бино­ миальные кривые обеспечен­ ности при одном и том же коэффициенте вариации

С_в = 0,5, но при различных значениях коэффициента асимметрии.

Рис. 4 8. Влияние параметров (С„, C_s) на форму биномиальной кривой распределения: a-C_s=2C_v: / — £„ = 0,5; 2 - С„=0,3; 3 —С„=0,1; б — С„=0,5: / — C_s=0,5; 2 — C_s=l,0; 3 — C_s=\,5

Использование биноми­альной кривой распределе­ния Пирсона III типа, широ­ко применявшейся в практи­ке гидрологических расчетов, долгое время являлось почти единственным достаточно простым расчетным спосо­бом определения колебаний гидрологических характери­стик. В то же время эта кри­вая имеет существенные не­достатки: отсутствие верхне­го предела и наличие огра­ниченного нижнего предела C_v. Если первый недостаток можно-отнести к формаль­ным, что подтверждается

* В математической статистике ординаты кривой обеспеченности различной вероятности превышения называют квантилями.

118

удовлетворительными результатами в области практически исполь­зуемых малых обеспеченностей, то второй недостаток является су­щественным. Действительно, для биномиальной кривой распределе­ния Сем. пис. 4.7)

(4.30)

Интегрирование биномиальной кривой распределения дает

(4.31)

Приравнивая выражения (4.30) и (4 31), получаем

Тогда

(4.32) (4.33)

Анализ этого соотношения, впервые полученного С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем, показал, что C_S^2C_V. При этом C_s=2C_a явля­ется нижним пределом значения C_s, так как при /Cmm=0 кривая распределения выходит уже из начала координат. Однако известно, что для засушливых районов ряды годового стока характеризуют­ся соотношением C_S<2C₀. Следовательно, в этом случае левая ветвь кривой распределения пересекает ось ординат, т. е. A_mm име­ет отрицательное значение, что противоречит физическому смыслу явления. Поэтому биномиальная кривая распределения Пирсона III типа неприменима к расчету стока в случае C_S<2C_V. Перед ис­следователями возникла задача получения кривой распределения, описывающей при любых соотношениях C_v и C_s статистические со­вокупности переменных, изменяющихся в пределах О^х^оо.

Наиболее удачную общую функцию распределения удалось по­лучить С. Н. Крицкому и М. Ф. Менкелю. Путем трансформации исходного уравнения биномиальной кривой Пирсона III типа при C_s=2Ct, и х=\ ими было получено семейство кривых распределе­ния при допущении, что некоторая функция х^ь исследуемой вели­чины подчиняется закону гамма-распределения. Уравнение этих кривых имеет вид

(4.34)

где у и b — параметры, связанные трансцендентными уравнениями с параметрами C_v и C_s; Г (у)—гамма-функция; х — исследуемая случайная величина; х — среднее значение х.

Кривые распределения, выраженные этими уравнениями, так­же могут быть определены тремя параметрами: х, С„ и C_s. Соответ­ствующее им распределение носит название трехпараметрического гамма-распределения.

Кривые трехпараметрического гамма-распределения исключают пересечение оси ординат и появление отрицательных абсцисс при C_S<2C₀; следовательно, они могут быть применены при любом со-

119

отношении C_s и C_v. В случае С₅=2С_И они совпадают с биномиаль­ной кривой распределения. Все кривые трехпараметрического гам­ма-распределения выходят из начала координат. Параметры кри­вых обеспеченности С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля определяются

теми же методами, что и па-

раметры биномиальной кри­вой распределения.

Результаты интегрирова­ния кривых трехпараметри­ческого гамма-распределе­ния, представленные в таб­личной форме (для C_S=2C_V; см. приложение 1), позволя­ют определить ординаты тео­ретической кривой обеспе­ченности К_Р% в зависимости от С_и и соотношения C_V/C_S. Изменение формы кривых обеспеченности трехпарамет­рического гамма-распределе­ния в зависимости от пара­метров С-о и C_s показано на рис. 4.9, а, б.

Трехпараметрическое гамма-распределение отли­чается значительной гибко­стью, имеет более широкий диапазон применения при расчетах стока, чем биноми­альная асимметричная кри­вая распределения.

Рис. 4.9. Влияние параметров С„ и С на форму кривых трехпараметрического у-рас-

пределения:

a-C_s=3C_v: /-С„=0,1; 2-С„=0,3; 3 - С„=0,5; б-С„-0,5. /-С.=0,5; 2-С, = 1.0; 3-C_s = l,5

Для определения пара­метров теоретических кри­вых распределения (обеспе­ченности) гидрологических характеристик кроме метода моментов применяют метод наибольшего правдоподобия и графоаналитический ме­тод.

Характерной особенно­стью исследований колеба-

нии стока является ограниченность числа лет гидрометрических наблюдений по каждому водному объекту. Вследствие этого при­менение выборочных статистических моментов для подбора рас­пределений по материалу наблюдений не во всех случаях дает наи­более точные результаты. Возникает необходимость определения «наилучшей» оценки истинного значения параметров (х, С₀ и C_s).

120

Английский математик Фишер показал, что наилучшая точность оценки выборочных параметров при заданных эмпирических на­блюдениях достигается методом наибольшего правдоподобия. Сущ­ность метода заключается в том, что в качестве оценки искомого параметра применяется такое его значение, при котором произве­дение вероятностей наблюденных величин (так называемая функ­ция правдоподобия) имеет наибольшее значение.

С. Н. Крицкий и М. Ф. Менкель, применив метод наибольшего правдоподобия к уравнению биномиальной кривой распределения, установили, что наилучшими оценками являются среднее арифме­тическое значение ряда х и среднее значение логарифмов перемен­ной величины xi, выраженное в долях от х.

При практическом использовании метода наибольшего правдо­подобия среднее арифметическое значение переменной определяет­ся по формуле (4.13), коэффициент вариации C_v и коэффициент асимметрии C_s находят по номограммам (см. приложение 3) как функции статистик Я₂ и Я₃, которые рассчитывают по выражениям

(4.35)

На номограммах по оси абсцисс указаны значения Яз, по оси ординат — значение Я₂. Точка с координатами К₂ и Х₃ определяет значения искомых параметров C_v и C_s, устанавливаемых по сетке криволинейных координат. Номограммы приведены для диапазона Ct,=0,15...1,40 и Cs= (1...6)C₀. Несомненным достоинством метода наибольшего правдоподобия является удобство при выполнении практических расчетов. Следует помнить, что метод наибольшего правдоподобия применяют только для трехпараметрического гам­ма-распределения С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля. Использование других типов распределения, например биномиальной кривой Пир­сона III типа, при этом методе неправомерно.

Графоаналитический метод определения параметров кривой обе­спеченности, или метод квантилей, был разработан Г. А. Алексе­евым в 1960 г. применительно к биномиальному закону распределе­ния или биномиальным кривым обеспеченности при любом значе­нии С„. Метод заключается в определении параметров кривых рас­пределения непосредственно по эмпирической кривой обеспеченно­сти. При этом для решения задачи достаточно иметь совпадение теоретической и эмпирической кривых обеспеченности в трех точ­ках. По ординатам эмпирической кривой обеспеченности в точках *5о% и равноудаленных от нее точках xs % и Хд₃% рассчитывают коэффициент скошенности кривой S по (4.24). Затем по таблице, составленной Г. А. Алексеевым (см. приложение 2} определяют значение коэффициента асимметрии C_s, после чего по таблице ор-Динат биномиальной асимметричной кривой Фостера — Рыбкина находят относительные, или нормированные, отклонения ординат биномиальной кривой обеспеченности Фз%, фбо% и фэб%.

121

Ординаты теоретической биномиальной кривой обеспеченности определяют по выражению (4.29). Заменяя К_р%. —х_р%/х и С_и = = а*/х, выражение (4.29) можно записать в виде

(4.36)

Исходя из условия совпадения теоретической кривой, выражен­ной уравнением (4.29), и эмпирической кривой в трех точках xs%, Xso% и х_9ъ%, можно записать три уравнения:

(4.37)

(4.38)

(4,39)

где известны х₅%, х₅₀% и *₉5% и соответственно фб%, фбо% и

^95%.

Для определения а_х вычитают из уравнения (4.37) уравнение (4.39):

или

откуда

(4.40)

Среднее арифметическое значение находят из уравнения (4.38) :

или

(4.41)

На основании полученных значений а_х и х вычисляют коэффи­циент вариации C₀={t_x/x.

Графоаналитический метод определения параметров теоретиче­ской кривой обеспеченности менее трудоемкий, чем метод момен­тов и метод наибольшего правдоподобия. Преимуществом его яв­ляется также отсутствие необходимости подбора такого неустойчи­вого параметра, как коэффициент асимметрии C_s. Однако точность параметров, установленных этим методом, зависит от обоснованно­сти проведения сглаженной эмпирической кривой обеспеченности, с которой снимаются значения в трех опорных точках, что, как и экстраполяция кривых обеспеченности, не лишено элемента субъ­ективизма.

Кроме рассмотренных кривых распределения, широко применя­ющихся при расчетах гидрологических характеристик, в отечест­венной и зарубежной практике используют и другие кривые рас­пределения (В. Д. Гудрича, Гумбеля, Г. Н. Бровковича и т. д.), рассматриваемые в специальных курсах [8].

122