А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ - Основы квантовой механики(розовая)

252

между атомами водорода, а для этого нужна немалая энергия. Однако в квантовой механике, как мы знаем, существует туннельный эффект, благодаря которому атом азота может пройти через потенциальный барьер без затраты энергии. Вероятность этого перехода очень мала из-за большой массы атома азота, но она не равна нулю и поэтому ее нужно учесть. Итак, мы приходим к модели с двумя базисными состояниями молекулы аммиака, в которой

Вычислить амплитуду перехода A очень трудно, поэтому будем считать ее параметром, значение которого можно найти из эксперимента.

Теперь мы могли бы применить схему из предыдущего раздела и найти, например, как будут меняться со временем вероятности обнаружить атом азота в двух различных положениях относительно плоскости атомов водорода. Можно также найти уровни энергии в данной модели и определить стационарные состояния |I и |II ; в каждом из них атом азота совершает переходы между базисными состояниями |1 и |2 . Нас будет интересовать, однако, еще одна особенность молекулы аммиака, которая и используется в аммиачном лазере.

Дело в том, что электронное облако в молекуле аммиака слегка смещено в сторону атома азота, поэтому молекула обладает дипольным моментом, направленным от атома азота к плоскости атомов водорода. Если приложить внешнее элек-

трическое поле перпендикулярно к плоскости атомов водорода (см. Рис. 18.2.),

E

то энергия молекулы в состояниях |1 и |2 будет иметь различные значения, так как дипольный момент по-разному направлен относительно поля.

Обозначим величину среднего дипольного момента молекулы через d. Тогда вместо (18.39) для матричных элементов гамильтониана нужно взять выражения

Можно найти и соответствующие векторы стационарных состояний |I , |II ; это мы оставим читателю (см. упражнение 18.5.).

Зависимость уровней энергии EI и EII от напряженности электрического поля E изображена на Рис. 18.3. На этой зависимости и основан принцип усиления электромагнитных волн в аммиачном мазере.

Схема работы мазера заключается в следующем. Аммиачный газ в виде тонкой струи пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле, причем модуль электрического поля E резко меняется поперек пучка.

253

Молекулы аммиака, находящиеся в состоянии |I , отклонятся в сторону уменьшения E, так как их энергия растет с ростом поля1, а молекулы, находящиеся в состоянии |II , отклонятся в сторону увеличения E, так как их энергия убывает с ростом поля. Таким способом удается разделить молекулы аммиака на два пучка. Для работы мазера используется пучок молекул в состоянии |I , который пропускается через резонатор переменного электромагнитного поля. Важным обстоятельством является то, что уровень энергии EI = E(0) + |A| лежит выше, чем

уровень EII = E(0) − |A|, поэтому молекулы, попавшие в резонатор, находятся в возбужденном состоянии. Частота колебаний электромагнитного поля в резонаторе ω подбирается так, чтобы как можно точнее выполнялось условие “резонанса”ω = 2|A|. В этом случае поле наиболее эффективно вызывает переходы молекул из состояния |I в основное состояние |II . В результате энергия передается от молекул полю, т. е. происходит усиление электромагнитных колебаний в резонаторе.

18.4.Квантовые переходы под влиянием внешнего возмущения

Как правило, изменение квантового состояния системы со временем происходит в результате ее взаимодействия с окружением. Например, излучение и поглощение света атомами или молекулами вызвано взаимодействием электронов с с электромагнитным полем. Строго говоря, само окружение тоже должно рассматриваться как квантовая система2. Однако во многих случаях задачу можно упростить, считая, что внешнее воздействие описывается зависящим от времени оператором

ˆ , действующим только на переменные интересующей нас квантовой системы.

W (t)

Например, в классическом приближении электромагнитное поле описывается век-

рошей точностью гамильтониан взаимодействия атома с полем электромагнитной волны можно записать в виде

берутся в точке, где расположен атом. Можно привести много других примеров, когда воздействие на систему удается описать некоторым оператором возмущения

ˆ .

W (t)

Сформулируем типичную постановку задачи о динамике квантовой системы

пол влиянием возмущения ˆ . Предположим, что возмущение действует в те-

W (t)

чение промежутка времени 0 ≤ t ≤ τ , причем при t ≤ 0 рассматриваемая система находилась в одном из своих стационарных состояний |i . Нас будет интересовать вероятность wf i(τ ) обнаружить систему в любом другом стационарном состоянии

1Как известно, во внешнем поле возникает сила, действующая в направлении уменьшения энергии системы.

2В частности, электромагнитное излучение — система квантовых частиц (фотонов). 3Для иллюстрации: характерный размер атома ra ≈ 1 ˚A, в то время как длина волны

видимого света λ ≈ 5000 ˚A.

256

подставить в правую часть (18.54), то получим амплитуды a(1)f i (t) в первом порядке теории возмущений. Для f = i имеем

Продолжая итерации в уравнениях (18.54), можно найти амплитуды af i(t) в лю-

бом порядке теории возмущений. Мы ограничимся первым приближением (18.55). Полагая t = τ , получаем для вероятностей перехода выражение

Как уже отмечалось, эта формула справедлива для f = i. Вычисление вероятности перехода wii(τ ) = |aii(τ )|2, т. е. вероятности перехода системы из начального состояния в него же, представляет собой более сложную задачу и вот почему. Из элементарных вероятностных соображений следует, что

f =i

Если даже каждая из вероятностей wf i(τ ) мала, их сумма по всем конечным состо-

яниям |f может иметь заметную величину. В частности, если подставить в (18.57) выражения (18.56), полученные в первом порядке теории возмущений, то для достаточно больших τ может оказаться (а так и бывает), что сумма превысит единицу и для вероятности обнаружить систему в начальном состоянии |i получится отрицательная (!) величина. Причина такого абсурдного результата состоит в том, что выражения (18.56) справедливы лишь для достаточно малого промежутка τ . При больших значениях τ система даже под действием слабого возмущения совершит много квантовых переходов и амплитуда aii(τ ) будет сильно отличаться от единицы. Это противоречит нашему исходному предположению, что за время τ все амплитуды, включая и aii(τ ), мало изменяются относительно своих начальных значений. Для того, чтобы выяснить область применимости теории возмущений, нужно найти решение уравнения (18.54) для aii(t) при больших t. Анализ этой задачи показывает, что при малом возмущении вероятность перехода wii(t) изменяется со временем примерно по экспоненциальному закону

где величина τi имеет размерность времени и выражается через матричные элементы оператора возмущения. Она характеризует быстроту “ухода” системы из начального состояния и называется временем жизни состояния |i . Таким образом, теория возмущений и, в частности, полученная нами формула (18.56) справедливы для промежутков времени τ , удовлетворяющих неравенству τ τi.

257

18.5.Вероятность перехода в единицу времени

Для практического применения формулы (18.56) нужно знать стационарные

состояния системы | и явное выражение для оператора возмущения ˆ . Мно- n W (t)

гочисленные примеры физических задач, в которых удается вычислить матричные элементы оператора возмущения и получить результаты, допускающие экспериментальную проверку, приведены в учебниках по квантовой механике (см., например, [2, 4]). Мы рассмотрим два типичных случая, когда формула (18.56) для вероятностей перехода принимает особенно простой вид.

Предположим, что оператор ˆ не зависит от времени между моментами вклю-

W

чения (t = 0) и выключения (t = τ ) возмущения. Иначе говоря, мы рассматриваем вероятности перехода под действием постоянного возмущения. В этом случае матричный элемент в (18.56) не зависит от времени и его можно вынести из-под знака интеграла. Интеграл явно вычисляется и для вероятности перехода получаем

Вспоминая обозначение (18.53), запишем это выражение в таком виде:

При разумных значениях τ аргумент синуса очень велик, если только энергия конечного состояния Ef не лежит в непосредственной близости к энергии началь-

ного состояния Ei. В самом деле, возьмем для оценки Ef − Ei ≈ 10−3 эВ. Тогда

величина /(Ef −Ei), имеющая размерность времени примерно равна 10−12 c. Длительность внешнего воздействия τ обычно значительно больше. Таким образом, физический интерес представляет вероятность перехода (18.59) при значениях τ , удовлетворяющих неравенствам1

где τi — уже упоминавшееся время жизни начального состояния.

Почти во всех физических системах конечные состояния |f имеют непрерывный (или почти непрерывный) спектр энергии. Поэтому реально измеряется не вероятность перехода в какое-то конкретное состояние |f , а вероятность перехода wf i в группу состояний, обладающих практически одинаковыми матричными

до Ef + ∆E, где величина ∆E характеризует разрешающую способность прибора.

Таким образом, аргумент (Ef −Ei) в формуле (18.59) можно считать непрерывным. Введем три безразмерных параметра

1Будем считать, что начало отсчета энергии выбрано так, что все значения Ei положительны.

261

Чтобы вычислить вероятности излучения и поглощения одного фотона c вол-

новым вектором и поляризацией , предположим, что в начальный момент

k α t = 0

отсутствует взаимодействие между атомом и полем. Предположим также, что

который есть суперпозиция трех альтернатив: а) состояние атома не изменилось, число фотонов не изменилось; б) был излучен один фотон, атом перешел в новое состояние |f ; в) был поглощен один фотон, атом перешел в новое состояние |f .

Дальше фактически идет повторение вывода формулы (18.63) для вероятности перехода в единицу времени. Нужно лишь учесть, что теперь базисные состояния полной системы включают как состояния атома, так и состояния поля. Соответствующие выкладки мы оставим читателю (см. упражнение 18.8.) и сразу приведем результаты:

чивается (Ef = Ei + ωk). Ясно, что в первом случае начальное состояние атома |i обязательно должно быть возбужденным, иначе не будет выполняться закон сохранения энергии и вероятность перехода Pf(излi ) обратится в нуль.

Для явного вычисления вероятностей перехода (18.74) нужно знать атомные волновые функции в начальном и конечном состояниях, а также явные выраже-

kα

дробно исследовать все возможные ситуации; это дело специалистов. Рассмотрим

лишь некоторые следствия из формул (18.74), играющие важную роль в квантовой оптике.

Хотя в общем случае вычислить матричные элементы оператора взаимодей-

чальном состоянии легко находится. Используя формулу (18.70) для ˆ и правила

W