4.4. Примеры решения простейших кванто-механических задач

4.4.1. Движение свободной частицы

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся вдоль оси x. Свободная  это значит, что частица движется с постоянной скоростью V в отсутствии силовых полей, т.е. U(x, y, z)0. Тогда полная энергия частицы есть её кинетическая энергия, а уравнение Шредингера имеет вид

. (4.12)

Введем обозначение . Тогда уравнение (4.12) принимает вид. Его частное решение(x)=A₀ cos kx  знакомо нам из курса “Теории колебаний”, а общее решение может быть записано в комплексной форме (x)=A₀ e^ikx + B₀ e^-ikx. Учитывая соотношение (4.10), получим выражение для нестационарной (полной) волновой функции

(4.13)

Это есть суперпозиция двух волн де Бройля, распространяющихся одна в положительном, а другая в отрицательном направлениях, что соответствует движению частицы вдоль (B₀ = 0) или против (A₀ = 0) оси x. Плотность вероятности обнаружения частицы не зависит от времени и в любой точке пространства одинакова.

4.4.2. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Для случая одномерной бесконечно глубокой “потенциальной ямы” потенциальная функция частицы U(x) принимает значение, равное нулю на интервале 0  x  l и равна бесконечности вне этого интервала. Подобная модель потенциального поля для случая “ямы” конечной глубины позволяет получать не только качественные, но даже и количественные результаты в некоторых задачах ядерной физики.

Потенциальная энергия частицы принимает значения:

.

Очевидно, что частица, находящаяся в “яме”, за пределы ямы попасть не может, следовательно, за ее пределами (x)0. Из условия непрерывности волновой функции следует, что на границах “ямы”

. (4.14)

Для частицы в “яме” уравнение (4.11) имеет вид

,

или , где. (4.15)

Решение уравнения (4.15)

(x)=A sin( k x+) . (4.16)

Из граничных условий (4.14) имеем =0 и sin( kl ) = 0, откуда kl = n (n=1,2,3,) или . Т.е. получаем, что энергия частицы в яме может принимать только дискретные значения

, (4.17)

причем расстояние между соседними уровнями энергии

(для больших n).

Для массивных частиц и для больших l (например, молекулы в сосуде) уровни энергии будут практически сливаться, однако при малых n и l (электроны в атоме) E_n сравнимо с величиной E_n.

Коэффициент A в (4.16) находится из условия нормировки (частица обязательно должна находиться внутри потенциальной ямы, следовательно, вероятность нахождения её в “яме” равна единице)

^{или , откуда .}

Таким образом, .

Заметим еще, что на ширине “ямы” l должно укладываться целое число полуволн де Бройля свободной частицы с энергией E=E_n.

Рис.4.3

На рис.4.3 представлена зависимость плотности вероятности обнаружения частицы в окрестности определенной точки “ямы” от координаты точки x (т.е. _n(x)²), а также спектр значений энергии частицы. Из рисунка видно, что, например, при n=2 частица не может находиться в центре ямы, но одинаково часто бывает как в левой, так и в правой её половинах.