4.3. Уравнение Шредингера

Состояние частицы в различных условиях в квантовой механике описывается волновой функцией. Следовательно, основной задачей квантовой механики является нахождение вида этих функций для различных объектов. Для ее решения служит уравнение, найденное Шредингером в 1926 г. Это  основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, т.е. оно справедливо только в случае движения частиц со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме.

Шредингер на основании соображений соблюдения размерности и выполнения общих физических требований к основному уравнению квантовой механики предложил в качестве такового уравнение вида:

, (4.9)

где m  масса микрочастицы,   оператор Лапласа (в декартовых координатах оператор Лапласа имеет вид ),U(x,y,z,t)  функция координат и времени, описывающая воздействие на частицу силовых полей (в стационарном случае U(x,y,z)  потенциальная энергия частицы).

Уравнение (4.9) называется общим (временным) уравнением Шредингера. Оно дополняется условиями, накладываемыми на функцию  :

1.   конечная, непрерывная и однозначная;

2. производные от  по x, y, z, t непрерывны (в отсутствии бесконечного скачка функции U(x,y,z,t));

3. функция ² должна быть интегрируема, т.е. интеграл ^{должен быть конечным.}

Уравнение Шредингера постулируется, его нельзя вывести из старых принципов. Единственным подтверждением истинности уравнения Шредингера является только опыт  опытная проверка всех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.

Для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, важно уметь находить стационарное решение уравнения (4.9), в котором исключается зависимость от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых все наблюдаемые физические параметры стационарны, в частности U=U(x, y, z). Оказывается, что в стационарных состояниях решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

, (4.10)

где частота  постоянна, а функция (x,y,z) не зависит от времени.

Для определения функции (x,y,z) подставим выражение (4.10) в уравнение (4.9) и найдем

.

По аналогии со световыми волнами будем считать, что величина представляет собой полную энергию частицыЕ в стационарном состоянии. Таким образом, для стационарных состояний мы имеем следующее уравнение

. (4.11)

Это уравнение не содержит времени и называется стационарным уравнением Шредингера.

Функции , удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера при данном значении потенциальной энергии частицы U(x,y,z), называются собственными функциями.

Полная энергия частицы Е входит в уравнение (4.11) в качестве параметра. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (4.11) имеют решения, удовлетворяющие указанным выше ограничениям на -функцию, не при любых значениях Е, а лишь при некоторых, избранных, зависящих от условий конкретной задачи. Значения Е, при которых существуют такие решения уравнения (4.11), называются собственными значениями.

Совокупность собственных значений называется их спектром. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, то говорят, что спектр энергии дискретный. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, то спектр сплошной. Таким образом, квантование энергии частицы получается из основных положений квантовой механики без каких либо дополнительных предположений, в отличие, например, от полуклассической теории атома водорода, предложенной Н. Бором, где пришлось постулировать квантование энергии атома.

Непосредственно в физическом эксперименте могут быть измерены только собственные значения исследуемой квантовой системы, и, следовательно, их измерение позволяет проверить состоятельность предлагаемой модели.