Момент силы относительно точки

Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.

Момент силы относительно точки численн о равен произведению модуля силы на кратчайшее

расстояние от точки до линий действия силы. Перпен­дикуляр, опущенный из точки на линию дей­ствия силы (рис. 4.4), называется плечом, силы.

Обозначение момента или ;

Единица измерения [ ] = Н·м.

Момент силы считается положительным, если сила стремится вращать тело против часовой стрелки.

Примечание. В разных учебных пособиях знак момента назначается по-разному.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия дей­ствия силы проходит через точку, т. к. в этом случае расстояние от точки до силы равно нулю.

Параллельные силы.

Система двух сил, направленных в одну сторону имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этим сил.

Две, не равные по модулю, , противоположно направленные силы, имеют равнодействующую, параллельную этим силам; причем ее модуль равен разности модулей слагаемых сил; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внешним образом на части, обратно

Распределенные нагрузки.

Кроме сосредоточенных сил встречаются нагрузки, распределённые вдоль данной поверхности по тому или иному закону. Величина силы, приходящейся на единицу длины загруженного участка, называется интенсивностью . Размерность .

Равномерно-распределенная нагрузка вдоль отрезка прямой.

При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей . .

Линия действия равнодействующей приложена в середине отрезка АВ.

Неравномерно - распределенная нагрузка (силы распределены вдоль отрезка прямой по линейному закону).

Равнодействующая таких сил

Линия действия проходит через центр тяжести треугольника АВС.

Силы, распределённые вдоль отрезка прямой по произвольному закону

Если закон распределения нагрузки произвольный, то величина равнодействующей пропорциональна площади ABCD, ; линия действия равнодействующей проходит через центр тяжести фигуры ABCD.

Пара сил. Основные понятия и определения.

Парой сил называют систему двух равных по величине, парал­лельных сил, направленных в противоположные стороны.

Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары. Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

Пара сил, действующая на тело, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется величиной, называемой моментом пары.

Моментом пары сил называется вектор, величина которого равна произведению силы пары на плечо пары и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары так, чтобы с направления этого вектора видеть стремление пары сил вращать тело против движения часовой стрелки.

(*)

Величина векторного момента пары сил численно выражается величиной площади  , построенного на силах пары.

Вектор-момент можно представить в виде:

(8)

Из (8) следует (*) и наоборот.

Статически определенные и статически неопределенные задачи.

Статически определенными задачами называются задачи, в которых число неизвестных реакций приложенных связей не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции.

Статически неопределенными задачами называются задачи с числом неизвестных, превышающих число уравнений равновесия сил.

Равновесие составной конструкции,

Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трёхшарнирной арки, состоящей из двух частей I и II, соединенных шарниром С.

Система сил, действующих на арку – произвольно-плоская. Для нее можно составить три уравнения равновесия, неизвестных четыре – . Задача статически неопределенная.

Чтобы сделать ее статически определенной, следует расчленить конструкцию, действие отброшенных частей заменить силами, удовлетворяющими условию:

Пример №3. Определить реакции связей для объекта исследования, изображенного на рисунке, по исходным данным приведенным там же.

В

С

А

1. Объект исследования балка.

2. Связи для неё в крайней левой точке (т.А) неподвижная шарнирная опора, а в другой точке (т.В)—невесомый стержень.

3. Связи отбрасываем, заменяя их реакциями:

X_A, направленной горизонтально вправо (по оси Ах);

У_А, направленной вертикально вверх (по оси Ау);

S_В, направленной по стержню, т. е. параллельно оси Ау вверх.

4. На балку действуют внешние силы:

Сосредоточенная сила Р (в т. С);

Распределенная нагрузка интенсивности q=4кН/м на участке длиной ℓ=2м.

Решение.

Распределенную нагрузку при определении реакций связей можно заменить равнодействующей Q=q*ℓ=4*2=8кН, которая должна быть приложена в центре тяжести эпюры распределенной нагрузки, а направление её должно соответствовать направлению нагрузки. В результате выполнения пунктов 1-4 получим следующую расчетную схему:

У

А

У_А

Q

1м

2м

1м

С

В

У_В

На балку действует плоская произвольная система сил, для которой уравнения равновесия имеют следующий вид:

Сумма проекций всех сил на ось «Х» равна нулю, т. е.

а) ∑F_kx=0: Х_А=0; откуда Х_А=0

сумма алгебраических моментов всех сил относительно т.А равна нулю, т. е.

б) ∑m_A(F_k)=0: -Q*1+У_В*3-Р*4=0, откуда

Ув=	Q*1+P*4	=	8+10*4	=	16 кН
	3		3

сумма алгебраических моментов всех сил относительно т.В равна нулю, т. е.

в) ∑m_B(F_k)=0; -У_А*3+ Q*2-Р*1=0, откуда

УА=	-P*1+Q*2	=	-10+8*2	=	2 кН
	3		3

Для проверки решения составим уравнения проекций на ось «У».

∑F_iy=У_А+У_В-Q-P=16+2-10-8=0

Задача решена верно. Так как реакции больше нуля, то это означает, что на расчетной схеме правильно указаны их направления.

Для проверки решения составим уравнение моментов относительно т. В

∑m_EK=+R_B*2ℓ+M+F₄*cos45^◦*2ℓ+ F₄*sin45^◦*4ℓ+X_A*3ℓ-Y_A*4ℓ=

=-52,7*2*0,5+100+40*0,707*4*0,5-63,7*3*0,5-18,3*4*0,5=-0,01, что вполне допустимо.

Пример №4

Пример № 5

Момент силы относительно центра (или точки).

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.

Моментом силы относительно центра называется вектор равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

(6)

Вектор-момент силы относительно точки 0 приложен в этой же точке ( т. О). Его модуль равен: . В общем случае, момент силы относительно центра алгебраически равен взятому со знаком "+" или "–" произведению модуля силы на плечо силы.

(7)

Плечом силы называется перпендикуляр, проведенный из ( )0 на линию действия силы.

Знак "+" выбираем в том случае, если кратчайший поворот силы вокруг данного центра виден происходящим против стрелки часов, знак "–" – в противном случае.

В общем случае направление вектора момента силы относительно центра определяется знаком векторного произведения (6).

Согласно (7) можно утверждать, что .

Свойства момента силы относительно точки

1. Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

2. Момент силы равен нулю, тогда и только тогда, когда линия действия силы проходит через центр 0.

Согласно (7):

(*)

Здесь – координаты точки приложения силы; – проекции силы. Из (*) следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются по формулам

Размерность – ньютон метр.

Проекции силы на плоскость

Проекцией силы на плоскость называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость.

По модулю где – угол между направлением силы и ее проекции

Момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и плоскости.

Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремиться совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если:

1. сила параллельна оси;

2. линия действия силы пересекает ось

Зависимость между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку.

Согласно определению, имеем

Для момента силы относительно оси можно записать

– проекция на плоскость перпендикулярную оси .

Следовательно . Умножим обе части записанного равенства на 2. или

(11)

То есть, проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр равна моменту силы относительной этой оси.

Аналитическое выражение моментов силы относительно оси

(*)

Для вектора момента силы относительно центра с учетом (II) можно записать:

(**)

Левые части (*) и (**) равны, приравниваем правые:

где – координаты точки приложения силы.

Теоремы теории пар сил.

Теорема 1.

Геометрическая сумма моментов сил, входящих в состав пары относительно любой точки, не зависит от выбора точки, и равна векторному моменту этой пары сил.

Доказательство:

Возьмем произвольный центр 0 и проведем из него радиусы-векторы точек А и В. Учитывая, что , можно записать

Так как не зависит от выбора точки 0, следовательно, геометрическая сумма также не зависит от выбора точки 0.

Теорема 2.

Вектор-момент пары – вектор свободный.

Доказательство:

Согласно теореме о моментах сил пары имеем: .Таким образом, вектор момент пары как геометрическая сумма двух связанных векторов и можно считать также связанным, приложенным в точке 0. Но центр 0 был выбран произвольно, поэтому и точка приложения вектора также является произвольной.

Следовательно, вектор-момент пары – вектор свободный.

На основании этой теоремы и известных из векторной алгебры признаков свободных векторов, можно записать следующие свойства пар сил:

1. у пары сил можно произвольным образом менять модули сил и плечо, оставляя неизменным ее момент;

2. пару сил можно перемещать как угодно в ее плоскости;

3. пару сил можно переносить в любую плоскость параллельную плоскости этой пары.

Из доказанной теоремы вытекают также известные условия эквивалентности пар:

1. п ары сил в пространстве эквивалентны, если их векторы-моменты геометрически равны между собой;

2. п ары сил на плоскости эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Теорема 3.

Две пары сил, действующие на одно и тоже тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар сил*

Доказательство:

Пусть имеются две пары сил и , лежащие в пересекающихся плоскостях. Эти нары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и сил пар. Согласно аксиоме 3 имеем

Силы и составляют пару сил, так как они приложены в разных точках и как равнодействующие равных, но противоположно направленных сил.

Вычислим момент пары

где – момент пары , – момент пары , т.е. .

Момент эквивалентной пары сил равен геометрической сумме

векторных моментов заданных пар.

Из теоремы 3 вытекает правила сложения пар сил:

1. Ч тобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные моменты геометрически

.

2. Чтобы сложить пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, необходимо алгебраически сложить моменты составляющих пар сил .

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то согласно теореме 3 эти пары сил, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой

(*)

Таким образом, момент эквивалентной пары – есть замыкающая сторона векторного многоугольника, построенного на векторных моментах заданных пар сил.

Для равновесия сил пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы величина момента эквивалентной пары равнялась 0, или чтобы векторный многоугольник был замкнут.

Модуль момента эквивалентной пары

где (**)

Но ,

если или с учётом (**)

(9)

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторов моментов пар сил на координатные оси равнялись нулю.

Условия равновесия (9) упрощаются, если все пары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, поэтому (*) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось , перпендикулярную плоскости пар.

Тогда из (*) получим:

или

(10)

Главный вектор системы сил.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил системы.

Главный момент пространственной системы сил относительно центра и оси.

Рассмотрим систему сил ( ), как угодно ориентированных в пространстве. Вычислим моменты этих сил относительно точки 0.

Векторы моменты . все приложены в точке 0. Построим многоугольник векторов моментов.

Замыкающая сторона этого многоугольника – главный момент относительно неподвижного центра

(12)

Таким образом, главным моментом пространственной системы силы относительно центра называется геометрическая сумма моментов сил системы относительно того же центра.

Главным моментом пространственной системы сил относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов сил системы относительно той же оси

Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил,

Главный вектор

Спроектируем обе части этого векторного соотношения на оси .

(13)

Тогда модуль равен

(14)

Направление определяется направляющими косинусами:

; ; .

Главный момент . Спроектируем данное векторное соотношение на оси :

(15)

Модуль главного момента равен

(16)

Направление определяем направляющими косинусами:

; ; .

Теорема о зависимости главного вектора-момента от положения

центра приведения.

При изменении центра приведения главный вектор-момент системы сил изменяется на величину, равную вектору-моменту главного вектора этой системы сил, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра приведения.

Пусть имеется произвольная пространственная система сил и сила F_i , приложенная в точке A_i, одна из них, как показана на рисунке. При этом относительно центра О: r_i – радиус-вектор точки A_i относительно нового центра О^*, О^*О – радиус-вектор данного центра О относительно нового О^*. При этом r_i^`= О^*О+ r_i.

По определению вектора-момента силы относительно точки имеем

m₀*(F_i)=r_i× F_i = (О^*О+ r_i)× F_i= О^*О× F_i+r_i× F_i , или

m₀*(F_i)= О^*О× F_i+ m₀(F_i), (1)

где m₀(F_i)=r_i× F_i

Пользуясь этим результатом, можно найти связь между главным вектором-моментом данной системы сил относительно нового центра О^* (обозначим его М_о*) и главным вектором-моментом М_о той же системы сил относительно прежнего центра О. Тогда согласно равенству (1) имеем

M_o*=∑m_o*(F_i)=∑( О^*О× F_i)+ ∑m₀(F_i).

Но ∑m₀(F_i)= M_o , ∑ О^*О× F_i= О^*О×∑ F_i= О^*О×R^`, поэтому окончательно получаем

M_o*= M_o+ О^*О×R, или

M_o*= M_o+ m_o*(R^`), (2)

где m_o*(R^{`</sup>) – вектор-момент главного вектора R<sup>`}, приложенного в прежнем центре приведения О относительно нового центра приведения О^*.

Равенство (2) можно переписать в виде

M_o*- M_o = m_o*(R^`),

что и требовалось доказать.

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо)

Приведём сиу к центру 0. приложим в точке 0 систему сил , причём выбираем

Силы образуют пару, момент которой

При приведении силы к заданному центру получаем в этом центре силу, геометрически равную заданной и пару сил, момент которой равен моменту силы относительно центра приведения.

Приведение пространственной системы сил к заданному центру,

Теорема.

При приведении пространственной системы сил к центру всегда получим силу, называемую главным вектором системы сил, приложенную в центре приведения, и пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

Доказательство:

Пусть имеем систему сил, как угодно ориентированных в пространстве (ограничимся тремя силами).

Каждую силу приводим к центру 0 на основании метода Пуансо. В точке 0 получим систему сходящихся сил . Геометрическая сумма этих сил есть главный вектор:

Векторы моменты также образуют систему сходящихся векторов. Их геометрическая сумма есть главный момент системы сил относительно центра.

Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил

Теорема.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю.

Доказательство:

Достаточность.

При система сходящихся сил, приложенных в центре приведения 0, эквивалентна нулю, а при – система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Необходимость.

Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Тогда необходимо, чтобы , .

Если какое-либо из этих условий не выполняется, то система сил приводится либо к , либо к паре, момент которой , и следовательно, не является уравновешенной, что противоречит исходной предпосылке.

Получим уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил, если , , согласно (14) и (16) :

Или с учётом (13) и (15), имеем уравнения равновесия пространственной системы сил:

(17)

Частные случаи приведения плоской системы сил к заданному центру.

Согласно доказанной выше теореме при приведении произвольной плоской системы сил к центру 0 получим главный вектор и пару силу, момент которой равен алгебраической сумме моментов сил относительно центра приведения .

В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1. – система сил находится в равновесии.

2. – произвольная плоская система сил при­водится к паре, момент которой равен главному моменту.

3. – произвольная плоская система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения 0.

4. . Докажем, что в »том случае система сил также приводится к равнодействующей

Силы пары с моментом выберем следующим образом: будем считать их по модулю равными и одну из сил пары приложим в точке 0 (рис. 2). Плечо пары . Система сил и, согласно аксиоме 2, ее можно отбросить (рис. 3). Следовательно, система сил приводится к равнодействующей, геометрически равной главному вектору . Причем линия действия равнодействующей проходит через точку К, отстоящую от точки 0 на расстоянии

Теорема Вариньона,

Момент равнодействующей силы относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно того же центра.

Доказательство: (смотри рис. 3)

Главный вектор и равнодействующая.

Главный вектор, как геометрическая сумма сил, приложен в центре приведения, но не имеет строго определенной линии действия; он эквивалентен системе сил в совокупности с главным моментом.

Равнодействующая имеет строго определенную линию действия, она одна эквивалентна системе сил.

Условия и уравнения равновесия плоской системы сил.

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы и . Но , тогда, когда . Или, уравнения равновесия имеют вид:

(18)

Другие формы уравнений равновесия:

(19)

Точки А и В не должны лежать на прямой, перпендикулярной оси

(20)

Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Плоская система параллельных сил.

Уравнения равновесия (18) и (19) принимают вид:

(21)

и (22)

Прямая АВ не параллельная линии действия сил, то есть оси .