Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
Рассмотрим следующие три интеграла (рис. 4.3).
Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей , а третий — центробежным моментом инерции относительно осей .
Пусть
заданы:
.
Требуется
найти
.
Координаты
площади
в системе координат
равны:
.
Вычислим моменты инерции относительно
осей
.
,
,
.
После интегрирования имеем:
,
,
.
Если
оси
— являются центральными, то
и выражения принимают вид
(4.4)
(4.4)
называют формулами перехода для моментов
инерции от центральных осей
к произвольным
.
Из
первых двух формул (4.4)следует, что в
семействе параллельных осей минимальный
момент инерции получается относительно
центральной оси (при
или
).
Поэтому
легко установить, что при переходе от
центральных осей к произвольным моменты
инерции увеличиваются на
и
,
а при переходе от произвольных к
центральным эти величины нужно вычитать.
При определении центрального момента инерции следует учитывать знак и .
Пример: Найти моменты инерции прямоугольного относительно основания и относительно центральных осей (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Момент инерции относительно оси
.
Воспользуемся формулами переноса (4.4)
.
По аналогии
.
Моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей необходимо помнить,
.
Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
Пусть
заданы моменты инерции
.
Требуется найти
,
относительно осей, повернутых к заданным
на угол
(рис. 4.5).
Рис. 4.5
Выберем
произвольную площадку
и
выразим ее координаты в новых осях
и
через старые
.
Проектируем замкнутый четырехугольник на оси и . Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:
.
В
выражениях исключаем
и
тогда
,
откуда
(4.5)
Рассмотрим первые два уравнения из 4.5, складывая их почленно, получим:
.
Таким
образом, при повороте осей сумма осевых
моментов инерции относительно двух
взаимно перпендикулярных осей остается
постоянной. Заметим, что
,
где
—
расстояние от элементарной площадки
до точки 0.
Таким образом
,
(4.6)
где — полярный момент инерции.
При помощи выражения 4.6 легко найти осевые моменты инерции для круга.
.
С
изменением
каждая из величин
и
меняется, а сумма их остается постоянной.
Следовательно, существует такой угол
,
при котором один из элементов инерции
достигает своего максимального значения,
в то время как другой момент инерции
принимает минимальное значение.
Дифференцируя первое выражение из 4.5 по , и приравнивая производную нулю, найдем
(4.7)
При этом значение один из осевых моментов достигает максимального значения, другой - минимального, а центробежный равен 0.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями.
Найдем величины главных моментов инерции. Для этого первые две формулы из 4.5 приведем к виду
.
Учитывая, что
,
.
Исключаем при помощи 4.7 угол , получим для определения значений главных моментов инерции.
.
(4.8)