8. Примеры решения задач

Задача 2.1

Стержень ступенчато-постоянного сечения находится под дей­ствием показанных на рис. 1.8, а осевых нагрузок. Требуется по­строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, опре­делить абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня и построить эпюру осевых перемещений.

В расчетах принять Е = 2· 10⁴МПа= 2· 10³ кН/см².

Рис.1.8

Определяем из уравнения равновесия опорную реакцию в месте закрепления стержня:

∑Х=0, -20*1,5 + 70 – 30*2 + R=0, R= 20 кН.

Поскольку реакция оказалась положительной, ее направление в начале расчета выбрано правильно. Для построения эпюр N и σ вычисляем значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях стержня, начиная со свободного конца.

1. Сечение х= 5,5 м (свободный конец)

N = σ = О (сосредоточенная сила отсутствует).

2. Сечение х = 4 м (выше границы участков)

N= -20· 1,5 = -30 кН (сжатие),

σ=-30/75=-0,4кН/см² =-4 М Па.

3. Сечение х=4м (ниже границы участков)

N=-30+70=40 кН (растяжение),

σ =40/50=-0,8 кН/см² = 8 МПа.

4. Сечение х=2 м (выше границы участков)

N=40 кН, σ=40/50=0,8 кН/см²=8 МПа.

5. Сечение х=2 м (ниже границы участков)

N=40кH, σ=40/100=0,4 кН/см²=4 МПа

6. Сечение х=О (закрепление)

N=-R =-20 кН (сжатие),

σ=-20/100=-0,2 кН/см²=-2 МПа

На первом и третьем участках стержня продольная сила изменяется по линейному закону (q = const), а на втором участке она постоянна (q= О). Отметим также, что в пределах первого участка знак продольной силы и нормальных напряжений изменяется на противоположный. В сечении на границе второго и третьего участков продольная сила имеет разрыв (скачок) на величину сосредо­точенной силы Р= 70 кН.

Полученные ординаты откладываем на оси стержня и строим эпюры N и σ. Эти эпюры приведены на рис. 1.8, б, в.

Вычисляем абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня. Значения ∆ℓ первого и третьего участков определяем с помощью площади эпюры нормальных напряжений на этих участках:

∆ℓ₁ =1/Е*Ω_σ=1/2*10⁴*(4-2)/2*200=0,01 см (удлинение),

∆ℓ₂ =ℓN/ЕF=40*200/2*10³*50=0,08 см (удлинение),

∆ℓ₁ =1/Е*Ω_σ=1/2*10⁴*(-4*150/2)=0,015 см (укорочение).

Определяем величину∆ℓ всего стержня:

∆ℓ =∆ℓ₁+∆ℓ₂+∆ℓ₃ =0,01+0,08-0,015=0,075см (удлинение)

Для построения эпюры и вычисляем по формуле (1.3) значения осевых перемещении характерных сечений стержня.

1. Сечение х = О и = и₀ = О (сечение закреплено).

2. Сечение х = 2 м и₁ = и_о + ∆ℓ₁= 0,01 см.

3. Сечение х = 4 м и₂ = и₁+∆ℓ₂= 0,01 + 0,08 = 0,09 см.

4. Сечение х = 5,5 м и₃ = и₂ +∆ℓ₃ =∆ℓ=0,075 см.

В сечении на первом участке, где продольная сила обращается в нуль, осевое перемещение имеет экстремальное значение.

5. Сечение х = 0,67 м

и=и_min=и₀+∆ℓ₁^*=1/(2*10⁴)(-2*67/2)=-0,0034

где ∆ℓ₁^* - значение абсолютного укорочения заштрихованной части первого участка (рис. 1.8, а)

Эпюра осевых перемещений представлена на рис. 1.8, г. На первом и третьем участках стержня осевые перемещения изменяются

по квадратичному закону, а на втором участке по линейному закону.

Задача 2.2

Жесткая балка АВ нагружена на конце сосредоточенной силой и поддерживается с помощью стержня CD (рис. 1.15). Требуется подобрать сечение стержня в виде двух равнобоких уголков и в виде двух тяг круглого сечения, а также определить величину удлинения стержня и угол поворота балки. Коэффициент надежности по нагрузке принять γ_f =1,4. Материал стержня - сталь марки ВСт.З. В расчетах принять Е = 2,1*10⁵ М Па = 2,1*10⁴ кН/см², R = 210 М Па = 21 кН/см² и γ_с = 1,0.

Данная задача является статически определимой. Вычисляем значение расчетной продольной силы в стержне из уравнения равновесия:

Р_р= 100·1,4= 140 кН.

Определяем требуемую площадь сечения стержня:

F≥N/γ_с*R=210/1*21=10 см².

В первом варианте принимаем по сортаменту сечение стержня в виде двух равнобоких уголков L56x5 (рис. 1.16, а). Площадь поперечного сечения стержня равна

F= 2·5,41 = 10,82 см.

Во втором варианте (рис. 1.16, б) определяем требуемый диаметр сечения каждого стержня:

F=2*πD²/4≥10 см², D≥2,52 см²

Округляя в большую сторону, примем D= 2,6 см. При этом площадь сечения стержня равна

F = 2π*2,6²/4= 10,62cм2

Приняв сечение стержня в виде двух равнобоких уголков, вычислим значение напряжений в стержне и величину его удлинения:

Σ=N/F= 210/10.82= 19,41 кН/см² = 194,1 МПа < γ_с*R = 210 МПа,

∆ℓ= Nℓ/EF= 210*180/2.1*10^4*10.82= 0,166cм.

Рассмотрев схему деформации системы (рис. 1.17), определяем значение угла поворота жесткой балки АВ:

tgӨ = DD'/AD=∆ℓ/200= 0,166/200 = 8,3 ·10^-4, Ө = 0⁰02'51".

Угол поворота балки очень мал.

Задача 2.3

Для данной стержневой системы (рис. 1.18) требуется опреде­лить величину допустимой расчетной силы из условия прочности стержней, величины удлинений стержней и перемещения шарнир­ного узла В. Материал стержней - сталь марки ВСт.3 со следу­ющими характеристиками:

Е = 2,1*10⁵ МПа=2,1*10⁴ кН/см²,

R=210МПа=21 кН/см², γ_с= 1,0.

Рис. 1.18

Данная система является статически определимой. Составляем уравнения равновесия и выражаем силу Р через усилия N) и N₂ В стержнях:

∑Х=0, N₁ sin 50^о = N₂sin 20^о,

∑Y=0, N₁ cos50^о + N₂cos 20^о = Р,

P=2,75N₁, Р= 1,227N₂ .

Вычисляем значения допустимых расчетных усилий для каждого стержня.

Стержень АВ 4Ø15 мм F₁=4*π*1,5²/4=7,07 см²

N₁ =γ_с*R*F₁ =1,0·21·7,07 = 148,5 кН.

Стержень ВС 2L56x4 F₂ = 2*4,38 = 8,76 см²,

N₂ = γ_с*R*F₂ = 1,0*21*8,76 = 184 кН.

Вычисляем значения допустимой расчетной силы.

1. Из условия прочности стержня АВ

Р= 2,75*N₁ = 2,75*148,5 = 408,4 кН.

2. Из условия прочности стержня СВ

P=I,227*N₂=1,227·184=226кH.

Чтобы обеспечить прочность обоих стержней, надо принять меньшую силу. Принимаем Р = 226 кН и вычисляем усилия и напряжения в стержнях:

N₁=226/2.75=82.2 кН, σ=82,2/7,07=11,62 кН/см² = 116,2 МПа.

N₂ =226/1,227 = 184кН, σ=184/8,76=21 кН/см²=210 МПа.

Отметим, что первый стержень недогружен. Вычисляем величины удлинений стержней:

∆ℓ₁ = N₁ℓ₁/EF₁ = 82,2*467/2,1*10⁴*7,07= О,26см,

∆ℓ₂ = N₂ ℓ₂/EF₂ = 184·319/2,1*10⁴*8,76= О,32см,

где ℓ₁ =3/ cos50° = 4,67 м, ℓ₂ =3/cos20° = 3,19 м - длины стержней.

Положение шарнирного узла В после деформации можно определить графически. Для этого на продолжении стержней надо отложить величины их удлинений ∆ℓ₁ и ∆ℓ₂ а затем из полученных точек провести перпендикуляры (рис. 1.19). Точка пересечения этих перпендикуляров и соответствует положению узла В после деформации системы. Зная общее перемещение ВВ', можно определить его проекции на оси Ох и Оу, то есть вертикальное и горизонтальное перемещения узла В. Составляем два уравнения:

∆ℓ₁ = V_В cos50° + u_Bsin50° = 0,26 см,

∆ℓ₂ = V_В cos20° - u_Bsin20° = 0,32 см.

Отсюда находим: и_в= 0,041 см, V_в= 0,36 см.