2. Потенциальная энергия деформации

Рассмотрим процесс деформирования упругого тела с энергетической точки зрения. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу — . В результате этой работы накапливается потенциальная энергия — . Также работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е. кинетической энергии .

.

Если скорость неограниченно мала, т.е. процесс статический, то

.

Поскольку на пути сила меняется от до (рис. 2.5), то работа должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути.

Рис. 2.5

На элементарном пути работа текущей силы равна .

Очевидно, работа на перемещение численно равна площади заштрихованного треугольника, т.е. , но , тогда .

Подставляя вместо внешней силы , равной ей внутреннюю силу получим:

, (2.9)

если , то . (2.9’)

3. Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)

Возьмем растянутый брус (рис. 2.6,а). Из него вырежем параллелепипед с гранями . На гранях этого параллелепипеда будет действовать только нормальное напряжение — . Такое напряженное состояние называется растяжением.

а) б)

Рис. 2.6

Рассечем параллелепипед наклонной плоскостью и рассмотрим равновесие одной из частей (рис. 2.6,б). Разложим вектор полного напряжения

После сокращения получим . (2.10)

, т.к.

. (2.11)

Из этих формул видно, что нормальные напряжения имеют максимальное значение при , , а касательное напряжение в поперечных сечениях отсутствует. Касательные напряжения имеют максимальные значения при .

4. Статически определимые и статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Задача называется статически определимой, если все опорные реакции, а также внутренние силовые факторы в любом сечении, можно определить только с помощью уравнений статики.

Статически неопределимые называются задачи, которые нельзя решить с помощью только уравнений статики. Дополнительные уравнения составляются из рассмотрения деформаций системы.

Назовем степенью статической неопределенности разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений статики, которые можно составить для данной задачи.

. (2.12)

Рис. 2.7

На рис. 2.7 представлены системы: а) статически определимая, б) один раз статически неопределима , в) два раза статически неопределима .

Покажем другие системы (рис. 2.8, 2.9).

Рис. 2.8 Рис. 2.9

На данные системы наложены по одной “лишней” связи, т.е. они являются один раз статически неопределимыми.