56

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра математики и экономической информатики

Учебно-методическое пособие

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для организации индивидуальной и контроля

самостоятельной работы студентов, обучающихся

по направлению 080100.62 «Экономика»

Казань 2011

Обсуждено на заседании кафедры математики и экономической информатики 02.06.11, протокол №10.

Составители: зав. кафедрой, профессор Марданов Р.Ш.,

к.ф.-м.н., доцент Хасанова А.Ю.,

к.ф.-м.н., доцент Фатыхов А.Г.,

к.ф.-м.н., ст. преп. Опокина Н.А.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Султанов Р.А.

Введение

При изучении математики требуются не только учебники и справочники по соответствующим разделам математики, но и учебно-методические пособия и методические разработки, включающие упражнения и задания для закрепления знаний, полученных на лекционных и практических занятиях и при самостоятельном изучении.

Данное учебно-методическое пособие составлено в соответствии с программой курса «Теория вероятностей и математическая статистика» и календарно-тематическим планом для изучения математики студентами 1-го курса, обучающихся по направлению «Экономика» во 2-м семестре. По плану во 2-м семестре предусмотрено 8 индивидуальных работ по следующим темам:

1. Элементы комбинаторики. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

2. Повторные независимые испытания.

3. Непрерывная случайная величина.

4. Основные законы распределения случайной величины. Закон больших чисел.

5. Случайные процессы. Цепи Маркова.

6. Выборочный метод.

7. Статистическая проверка гипотез.

8. Корреляционный анализ.

А также одно индивидуальное занятие предусмотрено для защиты индивидуальных работ 1-8.

По каждой теме приводятся 30 вариантов заданий. В рамках индивидуальных занятий студенты должны выполнить по одному варианту задания соответствующей темы. На выполнение одного варианта индивидуальных заданий по каждой теме отводится 2 часа. Контроль знаний осуществляется путем проверки письменной работы и оценки по балльно-рейтинговой системе.

Контроль знаний по этим темам осуществляется при выполнении студентами контрольных работ и во время экзаменационного тестирования, в том числе и по тестовой базе Федерального агентства по образованию РФ.

Индивидуальная работа №1 Элементы комбинаторики. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

1. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведены наиболее часто употребляемые из них.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_n = n!, где n! = 1·2·3 ... n.

Заметим, что 0! = 1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел Р_n = 3! = 1·2·3 = 6.

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, Флибо их порядком. Число всех возможных размещений

= n(n-1)(n-2)...(n-m+1).

Пример 2. В президиум собрания избраны семь человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности председателя и секретаря?

Решение. Число таких способов равно: = 7·6 = 42.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний:

.

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?