Інтервал довіри для умовного середнього

Знаходження інтервалу довіри для умовного середнього геометрично можна інтерпретувати як побудову двох пара­лельних до лінії регресії прямих, що відступають від рівня регре­сії на відстань (уздовж вертикалі або горизонталі залежно від вибраного рівняння регресії). В утвореній смузі з ймовір­ністю будуть центри умовних розподілів . Зазначимо, що ширина смуги стала для всіх значень .

; (4.9)

, (4.10)

де – критичне значення розподілу Стьюдента, що відповідає рівню значущості та ступеням вільності.

Метод найменших квадратів для визначення параметрів рівняння регресії

На підставі головної властивості рівняння регресії (4.3) з урахуванням (4.1) можемо побудувати функцію двох змінних – поки що невідомих параметрів рівняння регресії і (індекс 1 опущено):

. (4.11)

Мінімум функції знайдемо з умов, де її часткові похідні дорівнюють нулю:

(4.12)

Функція є квадратичною відносно кожного з параме­трів і , та уважаємо фіксованими. Виконаємо диференціювання:

;

.

У матричному вигляді матимемо:

(4.13)

або

; (4.14)

. (4.15)

Щоб побудувати матрицю і праву частину системи (4.13), послідовно (стовпці 1-4) заповнюють таблицю, що містить необ­хідні комбінації степенів пар вхідних даних (табл. 4.1). Нижній рядок цієї таблиці – це суми відповідних стовпців, з яких і формуємо систему (4.13). Після розв’язування цієї системи матричним методом (4.14) можна протабулювати рівняння регресії (4.1) і, нарешті, знайти суму квадратів відхилень експериментальних даних від прогнозованих, що лежать на лінії регресії (стовпці 6-7). Зазначимо, що сумарні значення стовпців 2 і 6 однакові (тобто рівняння регресії зберігає середнє значення залежної величини), а сума стовпця 7 буде найменшою серед усіх прямих (кажуть: у класі лінійних функцій вигляду (4.1)).

Таблиця 4.1

Схема обчислень за методом найменших квадратів

X	Y	XX	XY	Y(X)	(Y-Y(X))^2
…	…	…	…	…	…

Цей метод можна узагальнити і на інші різновиди рівняння регресії, зокрема, нелінійного типу. Наприклад, для квадратич­ного рівняння регресії

(4.16)

маємо вже три параметри , і , а система рівнянь матиме вигляд

. (4.17)

Метод найменших квадратів (МНК) дає змогу оцінити пара­метри рівняння регресії, побудувати рівняння регресії (прогноз) та оцінити якість наближення за сумою квадратів відхилень.

Вправа. Побудувати схему обчислень для квадратичної регресії (4.16).

Рис. 4.3. Кореляційні поля й гіпотетичні рівняння регресії [4]: а – лінійне ; б – квадратичне ; в – гіперболічне ; г) поліноміальне ; д – логарифмічне ; е – експонен­ціальне .

Аналогічно методом найменших квадратів можна оцінити параметри нелінійного рівняння регресії, деякі з характерних різновидів якого показано на рис. 4.3.