Двофакторний дисперсійний аналіз

У геології часто виникає ситуація, коли досліджують вплив двох факторів. Двофакторний дисперсійний аналіз дає змогу не тільки виявити вплив кожного з факторів, а й оцінити їхню взаємодію. Двофакторний аналіз має:

1) перехресну (двосторонню) класифікацію (з однаковою кількістю повторень у клітинці, з одним спостереженням у клітинці (без повторень), та з нерівномірною кількістю спосте­режень у клітинці);

2) ієрархічну класифікацію, коли один з факторів є головним, а інший – підпорядкованим. Тоді градація фактора B є незалежною в межах кожної з градацій фактора A. Якщо в кожній групі маємо однакову кількість підгруп , то така ієрархічна класифікація має спеціальну назву – гніздова класифікація. Для ієрархічної класифікації не виникає проблеми оцінки взаємодії факторів (її немає). Також уважаємо, що фактори не взаємодіють, коли маємо класифікацію без повторень.

Розглянемо випадок перехресної класифікації з однаковою кількіст. повторtym. Дані запишемо в табл. 2.2.

Таблиця 2.2

Вхідні дані для двофакторного аналізу

Рівні фактора		…		…
		…		…
…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…
		…		…

Схема обчислень для двофакторного аналізу така:

А. Знаходимо вибіркові середні (генеральне середнє , а також середнє в рядку , стовпці й клітинці ):

;

; (2.12)

;

. (2.13)

Б. Обчислюємо суми квадратів відхилень від відповідних середніх:

мінливість, зумовлену фактором ,

; (2.14)

мінливість, зумовлену фактором ,

; (2.15)

мінливість, зумовлену взаємодією факторів і ,

; (2.16)

мінливість у межах кожної з клітинок

; (2.17)

загальну мінливість спостережуваної ознаки (параметра)

. (2.18)

Справджується рівність

. (2.19)

В. Знаходимо оцінки дисперсій (середні квадратів відхилень)

;

;

; (2.20)

;

.

Перевірка гіпотез

Нехай – математичні сподівання рядків табл. 2.2, а – математичні сподівання стовпців. Тоді – ефект -ї градації фактора ; – ефект -ї градації фактора ; – ефект -ї градації фактора в умовах -ї градації фактора ; – математичне сподівання у кожній з клітинок.

Сформулюємо гіпотези, які стверджують, що впливи факторів і на всіх рівнях однакові, а взаємовпливу факторів нема:

;

;

для всіх та . (2.21)

Критерії для перевірки цих гіпотез мають такий вигляд:

;

;

(2.22)

Якщо гіпотеза правильна (тобто одночасно виконуються всі три підгіпотези), то , і підпорядковані розподілу Фішера з відповідними степенями вільності. Дію факторів , і уважатимемо суттєвою (для заданого рівня значущості ), якщо

або

, або (2.23)

.

Результати двофакторного дисперсійного аналізу записують у таблицю (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

Схема обчислень для двофакторного дисперсійного аналізу з рівномірною кількістю повторень

Різновид дисперсії	Сума квадратів відхилень	Кількість ступенів вільності	Середній квадрат (оцінка дисперсії)	–критерій
Факторна для фактора
Факторна для фактора
Змішана для факторів
Залиш­кова
Загальна