Гіпотеза про правомірність застосування лінійної моделі

Як бачимо, кореляційне відношення є ефективнішим для оцінки залежності між даними, але й більш трудомістким. Тому логічно поставити запитання, у яких випадках можна обмежитися розглядом парного коефіцієнта кореляції (тобто лінійною регресійною моделлю). Для цього перевіримо гіпотезу про рівність кореляційного відношення і коефіцієнта кореляції (за абсолютним значенням).

1. Нульова гіпотеза:

: (6.14)

за альтернативи

: . (6.15)

2. Вибираємо .

3. Статистика

. (6.16)

4. має розподіл Фішера з і ступе­нями вільності.

5. Критичні значення для статистики .

6. Якщо , то приймаємо нульову гіпотезу, тобто можна обмежитися лінійною моделлю як достатньо точною.

7. Тренд аналіз

Тренд – це закономірність зміни просторово-часових даних:

, (7.1)

де – закономірна складова (тренд); – випадкова змінна; , – точка з певного простору.

Фон, аномалії та поверхня тренда

Невипадковий компонент, що характеризує головну складову модельованого поля деякої геологічної ознаки, називають фо­ном. Фонова частина поля містить корисну інформацію про загальний характер зміни деякого параметра в просторі або часі. Суттєві відхилення від фонових значень можна розглядати як аномальні.

Процес виділення з виміряних величин закономірної скла­дової називають тренд-аналізом (або аналізом поверхонь тренду).

Тренд-аналіз застосовують у просторі, на площині, уздовж конкретного напряму (профілю) або з плином часу.

Білінійна просторова апроксимація

; (7.2)

. (7.3)

Експрес-методи оцінки наявності або відсутності тренда (одномірний випадок)

Розв’язок задач з виявлення тренду статистичними методами ґрунтується на порівнянні спостережуваних даних з полями чи послідовностями, у яких тренда апріорі нема (для послідовності, про яку наперед відомо, що вона немає тренду).

Метод зміни знака

Точкою зміни знака в упорядкованій послідовності назива­ють той елемент послідовності, де знак приросту змінюється на протилежний, тобто зростання – на спадання або навпаки (рис. 7.1).

Кількість точок зміни знака залежить лише від кількості елементів послідовності . Досліджено, що в послідовності без тренда розподіл випадкової величини асимптотично нормаль­ний і вже для математичне сподівання та дисперсія, відповідно,

, . (7.4)

Рис. 7.1. Визначення тренда методом зміни знака, крапками позначено точки зміни знака.

Перевірка гіпотези про наявність тренда полягає в порівнянні фактичного значення точок зміни знака з його математичним сподіванням (7.4), нормованим за дисперсією (перетворення Фішера). Критеріальне значення

(7.5)

порівнюємо з критичним значенням оберненої функції для стандартного розподілу і заданого .

Нульова гіпотеза свідчить, що тренда немає. Для таких послідовностей значення і не повинні значно відрізнятися. Тому гіпотезу приймаємо, якщо

, (7.6)

інакше вважаємо, що тренд є.

Метод стрибків

Нехай маємо послідовність даних вимірювань, яку можна розділити на дві категорії, наприклад, щодо медіанного значення. Тоді точкам, що вище медіани, припишемо знак “плюс” (+), а тим, що нижче, – “мінус”(–) (рис. 7.2). Ділянки, де знак однако­вий, об’єднують і називають інтервалом. Перехід від одного інтер­валу до іншого називають стрибком. Позначимо кіль­кість стрибків як .

Рис. 7.2. Визначення тренда методом стрибків.

У послідовності, про яку наперед відомо, що вона не має тренда, розподіл стрибків є асимптотично нормальним з параметрами розподілу

; (7.7)

, (7.8)

де , – кількість елементів послідовності з приписаним знаком “плюс” та “мінус”, відповідно; – усього елементів.

Перетворення за Фішером

(7.9)

дає випадкову змінну зі стандартним розподілом з математичним сподіванням 0 та стандартним відхиленням 1. Для заданого , наприклад 0,05, знаходимо критичне значення розподілу і порівнюємо його з отриманим числом згідно з (7.9). Якщо абсолютне значення перевищує , то є тренд.