Перевірка гіпотези про значущість вибіркового коефіцієнта кореляції

1. ; .

2. Вибираємо рівень значущості .

3. Статистикою є сам коефіцієнт .

4. Він має розподіл з одним ступенем вільності, .

5. Знаходимо критичне значення .

6. Якщо , то приймаємо нульову гіпотезу , інакше .

Кореляція порядкових геологічних даних

Геологічні дані, виміряні на порядковій шкалі, вже мають вищий рівень опису об’єктів і дають змогу не тільки віднести дані до того чи іншого класу (групи, категорії), а й упорядкувати ці класи за зростанням чи спаданням прояву досліджуваної ознаки (властивості). З іншого боку, різницю між градаціями визначити важко. Порядкова шкала вимірювань стосується, наприклад, даних напівкількісного спектрального аналізу (результати аналізу можна записати як “дуже бага­то”, “багато”, “мало”, “дуже мало”, “сліди”). Детальнішу інфор­мацію можна отримати під час наближено-кількісних методів, якщо всі дані вимірювань просортувати і виконати ранжування даних, а не тільки віднести дані до певних класів.

Характерним для рангових даних є те, що їх можна впорядкувати за зростанням. Таке впорядкування, як відомо, називають варіаційним рядом

.

Процедура ранжування даних полягає у присвоєнні їм певних чисел (рангів), що відповідають їхньому номеру у цьому ряді:

. (5.9)

Якщо в межах досягнутої точності кілька членів ряду є однаковими:

,

то їм присвоюють один і той же усереднений ранг

. (5.10)

Для визначення міри лінійного зв’язку між двома наборами рангових даних

;

або кількісних даних, які не підпорядковані нормальному закону розподілу (розподіл яких значно відрізняється від нормального) найчастіше використовують ранговий коефіці­єнт кореляції Спір­мена між відповідними двома наборами рангів

;

.

Коефіцієнт кореляції Спірмена обчислюють за формулою

, (5.11)

де – різниця рангів між елементами двох вибірок.

Властивості коефіцієнта кореляції Спірмена ті ж самі, що й для описаних вище коефіцієнтів кореляції.

Коли в першому або в другому наборі є однакові величини, то їм присвоюють однакові ранги, а формулу обчислення коефіцієнта кореляції Спірмена модифікують:

, (5.12)

де – поправка на однакові ранги у пер­шій вибірці; – кількість груп однакових рангів; – кількість елементів у ‑й групі. Аналогічно для другої вибірки .

Приклад визначення поправки. Нехай для одного з наборів маємо ранги

1; 3; 3; 3; 5,5; 5,5; 7; 8.

Тоді в формулі поправки , , .

Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції Спірмена

1. ; .

2. Вибираємо рівень значущості .

3. Статистикою є сам коефіцієнт .

4. Він має нормальний закон розподілу нульовим середнім значенням та дисперсією .

5. Знаходимо критичне значення , де  – -квантиль стандартного нормального розподілу (обернена функція стандартного нормального розподілу). Критичне значення отримують дещо завищене.

Є декілька способів знаходження , що відрізняються типом апроксимаційної функції (стьюдентівський, нормальний чи асимптотично нормальний розподіл).

Уточнена формула

(5.13)

6. Якщо , то приймаємо нульову гіпотезу , інакше .

Оцінка коефіцієнта кореляції методом “дробового пострілу”

Цей експрес-метод належить до найпростіших і не потребує значних обчислювальних затрат (комп’ютера). Графічний його варіант ґрунтується на аналізі кореляційного поля. Вертикальною й горизонтальною лінією, що відповідають медіанним значенням, площину розбивають на чотири квадранти і підраховують кількості точок у кожному з них. Нехай – кількість точок у квадрантах I і III; – кількість точок у квадрантах II і IV; , тоді

. (5.14)

Випадкова величина має асимптотично нормальний розпо­діл з нульовим середнім та дисперсією . Для польових досліджень треба пам’ятати критичне значення стандартного закону розподілу для :

. (5.15)

Тоді гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції відки­даємо, якщо

, (5.16)

де

. (5.17)

Можливий і табличний варіант цього методу. Тоді кожній з пар вимірювань треба приписати належність до одного з квадрантів, порівнюючи з медіанними значеннями, а саме:

квадрант I: і ;

квадрант II: і ;

квадрант III: і ;

квадрант IV: і .

Далі підраховують кількості пар у кожному з квадрантів і для графічного варіанта обчислюють коефіцієнт кореляції. Його значущість свідчить про лінійну модель даних.