Приклад обчислення ймовірностей за допомогою частотного відношення

Нехай у низці експериментів фіксують покази двох приладів. Подія A полягає в тому, що показ першого приладу менший від критичного значення, аналогічно – для події B. Зобразимо події A та B на часовому ряді вертикальними лініями, якщо відповідні події відбулися, і крапками, якщо вони не відбулися. Нехай отримано вибірку, показану на рис. 2.2:

n = 7; k_A = 5, k_B = 3;

р(A) = 5/7, р(B) = 3/7, р(A+B) = 6/7, р(AB) = 2/7.

Рис. 2.2.

Перевірка формули додавання ймовірностей:

6/7 = 5/7 + 3/7 – 2/7  правильно!

р(AB) = 2/3, р(BA) = 2/5

Перевірка формули ймовірності добутку подій через умовні ймовірності:

2/7 = (3/7)×(2/3) = (5/7)×(2/5)  правильно!

6. Формула ймовірності для повної системи подій. Маємо подію A та набір гіпотез (подій) (H₁, H₂, …, H_n) Систему подій H_j, j=1, …, n називають повною, якщо вони

1) попарно не перетинаються р(H_iH_j) = 0 і хоча б одна з них обов’язково відбудеться;

2) разом утворюють вірогідну подію р(H₁)+…+ р(H_n) = 1;

3) покривають подію A  H₁+…+H_n.

Розглянемо події AH₁, …, AH_n – теж попарно несумісні. Тоді згідно з пунктами 4-5

р(A) = р(H₁) р(AH₁)+…+ р(H_n) р(AH_n) = ,

що й називають формулою повної ймовірності (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

7. Формули ймовірності гіпотез (формули Байєса). В умовах виведення формули повної ймовірності (тобто виконуються всі умови пункту 6) розглянемо ймовірність суміщення події A в разі виконанні гіпотези H_i згідно з пунктом 5

р(AH_i) = р(H_i) р(AH_i) = р(A) р(H_iA)

З останньої рівності з урахуванням формули повної ймо­вірності (пункт 6) знайдемо

Цей вираз називають формулою Байєса.

Формули Байєса застосовують для розв’язування задач, що вкладаються в таку схему. Нехай випадкова подія A може від­бу­тися за різних умов. Щодо цих умов можна зробити n припущень (гіпотез), імовірності яких відомі. Нехай також відомі ймовірно­сті події A за умов кожної з гіпотез. Проводимо експеримент, тобто реалізуємо всю сукупність сприятливих умов, за яких може відбутися подія A. Тепер за результатами реальної появи події A можна переоцінити (уточнити) ймовірність гіпотез. Тому форму­ли Байєса називають ще формулами ймовір­ності гіпотез. У цих формулах маємо два типи ймовірностей:

1) апріорні (відомі до експерименту): р(H_i), р(AH_i);

2) апостеріорні р(H_iA) – знайдені в результаті експерименту (досвід).

Приклад. У результаті геохімічного опробування виявлено межі зони ореолу, де можна очікувати підвищеного вмісту деяко­го хімічного елемента (подія А). Поза цими межами переважають проби з фоновою концентрацією. Завдання: класи­фі­кувати окре­мо взяту нову пробу (поділ на фон і ореол), тобто уточнити межі ореолу. Приймемо систему рівноможливих гіпотез: H_О – проба взята з ореолу, H_Ф – проба взята з території із фоновим значен­ням, р(H_О) = р(H_Ф) = 0,5. Проби з підвищеним вмістом деякого хімічного елемента трапляються, наприклад, у семи випадках з десяти р(AH_О) = 0,7, тоді як на території з фоновим значенням – р(AH_Ф) = 0,1. Наведені ймовірності є апріорними, взятими з досвіду чи довідника. Згідно з формулами Байєса

р(H_ОA) =0,5×0,7/(0,5×0,7+0,5×0,1) = 0,7/0,8 = 0,875.

Отже, уточнене значення ймовірності гіпотези H_О для проби з підвищеним вмістом дорівнює 0,875, тобто з імовірністю майже 0,9 точку відбору проби можна класифікувати як таку, що взята з ореолу.

3. функція розподілу. характеристики статистичного матеріалу

Форми відображення кількісної інформації

Зібраний статистичний матеріал можна навести

а) аналітично (формула);

б) таблично (стовпці – вимірювані величини, рядки – проби);

в) графічно (графіки, діаграми, схеми, карти).

Класифікація випадкових величин

а) дискретні дані (окремі значення, в окремих точках, в окремі моменти часу);

б) неперервні (будь-які значення на шкалі вимірювань, у будь-якій точці (координаті) і момент часу);

в) згруповані – проміжний варіант між а та б.

Побудова гістограм

Гістограма – це графічне зображення частоти потрапляння даних у задані інтервали. Якщо додаткової інформації про бажані інтервали групування нема, то використовують рівномірне розбиття (за допомогою формули Стеджерса):

, (3.1)

де – обсяг вибірки. Тоді крок розбиття (довжина інтервалу):

. (3.2)

Тут [ ] – ціла частина числа. Після визначення меж інтервалів формують таблицю згрупованих даних (табл. 3.1). Контрольними числами у побудованій таблиці будуть: сума стовпця “Кількості” (дорівнює обсягу вибірки ), сума стовпця “Відносні частоти” (дорівнює 1). Зазначимо, що кожен з інтервалів охоплює праву і не охоплює лівої межі, а тому деколи крайні межі дещо розширюють, щоб охопити найменші та найбільші значення.

Таблиця 3.1

Згруповані дані для побудови гістограми

Номер інтервалу (групи)	Межі		Кілько­сті вимірю­вань	Відно­сні частоти	Накопичені частоти
	нижня	верхня
0	-∞	z0=xmin	n0	p0 ≈ n0/N	F(z0)= p1
1	z0=xmin	z1= z0+∆	n1	p1 ≈ n1/N	F(z1)= =F(z0)+ p2
…	zi	zi+1= zi+∆	…	…	F(zi+1)= =F( pi)+ pi+1
[k]	zk-1	zk= zk-1 + +∆=xmax	nk	pk ≈ nk/N	F(zk)=1

Графік (стовпцева діаграма), побудований за стовпцем “Від­но­сні частоти”, називають гістограмою. Якщо сполучити сере­ди­ни стовпців частот, то утворена ламана буде полігоном частот.

Якщо є багато експериментів, то в границі (для вибірки нескінченного обсягу, N→∞, або генеральної сукупності) отрима­ємо теоретичну функцію розподілу (або просто функцію розподілу). Вона характеризує ймовірність потрапляння експери­ментальних даних у той чи інший інтервал (діапазон).

Розрізняють два види функцій розподілу:

1) густина розподілу p(x);

2) інтегральна функція розподілу (іноді просто функція розподілу) F(x).

Теоретична функція розподілу є однією зі статистичних характеристик матеріалу і відображає ймовірність появи значень у певному діапазоні. Густина розподілу p(x) – це ймовірність появи значень, що дорівнюють x (для дискретних величин) або значень у малому околі (диференціал імовірності ).