2. Головні поняття теорії Ймовірностей

Теорія ймовірності – це математична дисципліна, що вивчає випадкові події на підставі введення спеціальної числової міри впевненості в позитивному результаті. Під подією розумі­ти­мемо подію, явище, процес, результат дії (чогось), що може відбутися або і не відбутися. Відповідно сформульоване тве­рдження може бути правильним (ТАК, або 1) чи неправильним (НІ, або 0), причому не одночасно. Події позначають великими латинськими буквами: A, B, C,… Теорія ймовірності ставить у відповідність кожній події число – ймовірність її появи (на підставі деяких теоретичних чи інтуїтивних міркувань) в одній спробі (експе­ри­менті) за деяких заданих умов, які можна відтворювати безмежну кількість разів. Ймовірність вимірюють у частках одиниці або у відсотках і позначають p(A) – імовірність появи події A.

Головні властивості ймовірностей

1. Мірою вірогідності появи події A є число p:

0  р(A)  1,

причому для р(A) = 0 подію A =  (порожня множина, нуль-подія) називають теоретично неможливою (невірогідною), а для р(A) = 1 подію A = U (Universe - Все) – вірогідною. На відміну від цілком детермінованого, логічного підходу, невірогідна подія може все ж таки відбутися в деякій спробі, а вірогідна – не від­бу­тися за ймовірнісним підходом. Нуль-подія та вірогідна подія найменш цікаві на практиці, решту подій зачислюють до випадкових.

2. (Практичний висновок із теореми великих чисел). У разі достатньо великої кількості експериментів (спроб) частотне від­ношення прямує до теоретичного значення ймовірності події A:

k / n  р(A) для n   ,

де k – кількість сприятливих результатів; n – усього спроб. Тому для практичного обчислення ймовірності маємо формулу

р(A)  k / n.

3. Протилежна (обернена, альтернативна) подія А – це подія, що заперечує подію А. Ймовірність події

р(А ) = 1 – р(A).

Тому р (А ) + р (A) = 1. Альтернативна подія може складатися з декількох підподій. Наприклад, для твердження альтернатив буде дві: або .

4. Імовірність суми (об’єднання) подій A+B (твердження: A або B)

р(А+B ) = р(A) + р(B) – р(AB),

де р(AB) – імовірність добутку (перетину, суміщення) подій AB (твердження: A і B)

Висновок для логічного додавання (“або”) і множення (“і”) подій роблять за схемою, наведеною в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Схема логічного додавання та множення двох подій (відбулася – так, не відбулася – ні)

A	B	A+B	A x B
Так	Так	Так	Так
Так	Ні	Так	Ні
Ні	Так	Так	Ні
Ні	Ні	Ні	Ні

Події A і B будуть незалежними (несуміщеними), якщо р(AB) = 0. Для такої пари подій формула ймовірності суми подій дає суму ймовірностей цих подій окремо (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

5. Умовна ймовірність: р(AB) – імовірність події A за умови, що подія B вже виконана (відбулася). Усі події відбуваються за певних умов (див. умови застосування статистичних моделей), що повинні повторюватися в кожній спробі. В умовній імовірності додаткова умова задана явно. За допомогою умовних імовірно­стей можна обчислювати ймовірність добутку подій:

р(АB ) = р(B) р(AB) = р(A) р(BA).