7. Порівняння двох об’єктів за середнім та дисперсією Критерії Велча й Вілкоксона

Задано дві вибірки (два об’єкти) обсягом N і M, відповідно:

а) ; б) .

Точкові оцінки для середнього й дисперсії позначимо так:

– перший об’єкт, – другий об’єкт.

Параметричний критерій Велча ефективно застосовують для порівняння достатньо великих вибірок ( ) за умов нор­мального розподілу даних кожної з вибірок.

Непараметричний критерій Вілкоксона доцільно використо­вувати для невеликих вибірок (до 50) і тоді, коли нема досто­вірної інформації про нормальний закон розподілу емпіричних даних.

Як відомо, варіаційним рядом статистичного матеріалу нази­ва­ють упорядкування елементів за зростанням. Порядковий номер елемента у варіаційному ряді називають рангом:

. (7.1)

Верхній індекс означає номер елемента у вибірці (до сорту­вання), нижній – у варіаційному ряді. Якщо варіаційний ряд містить групу або декілька груп однакових елементів, то кожній з них присвоюють усереднений номер (ранг).

Приклад.

Вибірка 5, 4, 8, 6, 4, 9.

Варіаційний ряд 4, 4, 5, 6, 8, 9.

Ранги 1,5; 1,5; 3; 4; 5; 6.

Шість пунктів статистичного доведення для цих критеріїв зведено в порівняльну табл. 7.1.

Таблиця 7.1

Критерії порівняння вибіркових середніх

Номер за пор.	Критерій	Велча	Вілкоксона
	параметричний	Так	Ні
1.	Нульова гіпотеза Альтернатива	або чи
2.	Рівень значущості	{0,01; 0,05; 0,10}
3.	Статистика
4.	Закон розподілу	Розподіл Стьюдента з	Розподіл Вілкоксона
5.	Критичні значення
6.	Критерій

Значення і відшукують за допомогою спеціальних таблиць, де, як звичайно, наведено значення і для фіксованих . Для достатньо великих обсягів кожної з вибірок (понад 25) можна скористатися формулами

,

, (7.2)

де – критичне значення нормального закону розподілу для рівня значущості (обернена функція нормального закону розподілу).

Критерії Фішера й Сіджела–Тьюкі

Ці критерії використовують для перевірки гіпотези про одна­ковість дисперсій двох об’єктів, тобто про однаковість розсіяння даних:

. (7.3)

Компактно ці критерії знову ж таки згідно зі схемою стати­стичного дослідження наведено у табл. 7.2.

Таблиця 7.2

Критерії порівняння дисперсій

Номер за пор.	Критерій	Фішера	Сіджела–Тьюкі
	Параметричний	Так	Ні
1.	Нульова гіпотеза Альтернатива	або чи
2.	Рівень значущості	{0,01; 0,05; 0,10}
3.	Статистика
4.	Закон розподілу	Розподіл Фішера з	Розподіл Вілкоксона
5.	Критичні значення
6.	Критерій прийняття

Критерій Фішера часто використовують у таких задачах.

1. Для впевненості в ефективності використання критерію Велча. Розрізняють випадки однакових дисперсій і суттєво різних, яким відповідають різні статистики. Зазначимо, що в разі підтвердження гіпотези про однаковість дисперсій використо­вують дещо іншу статистику:

, (7.4)

а тому критерій Фішера часто перевіряють перед використанням критерію Велча.

2. Порівняння ефективності двох методів за аналізом диспер­сії похибок. Прилад уважають кондиційним, якщо дисперсія в нього невелика.

3. Розділення різних об’єктів, подібних за середнім вмістом деякого параметра, але різних за ступенем мінливості цього пара­метра.

4. Іноді виникає потреба порівняти мінливість об’єкта за параметрами різної розмірності. Наприклад, концентрація еле­мента в об’ємі і вздовж жильного тіла (погонна концентрація). Використовують критерій Фішера, записаний щодо безроз­мірного коефіцієнта варіації: . Тоді

. (7.5)

Критерій Сіджела–Тьюкі побудований на припущенні про однаковість центрів розподілів заданих вибірок, які оцінюють їхніми медіанами. Тому якщо медіани різні, то дані кожної з вибірок потрібно центрувати щодо медіан і порівнювати не самі значення, а відхилення від медіан.

Значення порівнюваних вибірок об’єднують і записують у вигляді спільного варіаційного ряду (за зростанням):

.

Процедура ранжування цього ряду полягає в такому: першо­му елементу ряду присвоюють ранг 1, останньому – 2, другому – 3, передостанньому – 4 і так далі, беручи почергово крайні непронумеровані елементи. Якщо загальна кількість непарна, то медіанному елементові ранг не присвоюють. Тоді значенням вибірки з меншою дисперсією присвоюватимуть пере­важно більші ранги (елементи скупчуються навколо медіани), а значенням вибірки з більшою дисперсією – навпаки, менші ранги. У випадку однакових дисперсій значення обох вибірок чергу­ватимуться випадково, і суми рангів кожної з вибірок приблизно збігатимуться, як і для критерію Вілкоксона, тому можна засто­сувати відповідну статистику.