Розподіл Фішера (f-розподіл)

Розподіл Фішера – це розподіл випадкової величини , де – незалежні випадкові величини, що мають -розподіл, відповідно, з і ступенями вільності. Густина розподілу Фішера

(4.21)

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини

, .

Розподілу Фішера підлягає співвідношення оцінок дисперсій двох випадкових величин, що мають нормальний розподіл, тому його часто використовують для перевірки гіпотез про розсіяння навколо середнього вмісту мінералів у породах, а також у диспер­сійному аналізі.

5. Точкові та інтервальні оцінки статистичного матеріалу (параметрів геологічної сукупності) Критерії оцінювання

Здебільшого істинні значення характеристик гене­ральної сукуп­ності невідомі, а їхні наближені значення знаходять за емпіричними даними (вибіркою). Таке наближене значення називають оцінкою.

У теорії ймовірності та математичній статистиці до оцінок ставлять такі вимоги: оцінка повинна бути змістовною, незмі­щеною та максимально ефективною. Позначимо істинне значення деякого параметра через , а його оцінку – через .

Оцінку вважають змістовною, якщо в разі збільшення кількості експериментів оцінка параметра сходиться за ймовірністю до істинного значення:

. (5.1)

Оцінка буде незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює істинному оцінюваному параметру:

. (5.2)

Оцінка цього параметра (максимально) ефективна, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх можливих оцінок цього параметра.

Параметри генеральної сукупності є сталими, але їхні оцінки – це випадкові величини зі своїм розподілом і його параметрами. Уявлення про якість оцінювання дає довірчий інтервал, який визначають з виразу:

або

. (5.3)

Вираз прийнято називати довірчою ймовірністю, – рівнем зна­чущості, а інтервал – довірчим. Для простоти тут наведено запис для симетричного інтервалу щодо .

Точкові оцінки для математичного сподівання, дисперсії, асиметрії та ексцесу

Для вибірки обсягом N маємо незміщені оцінки математич­но­го сподівання (арифметичного середнього), дисперсії, асиметрії, та ексцесу, відповідно:

; (5.4)

; (5.5)

; . (5.6)

Інтервальна оцінка для математичного сподівання

Для знаходження інтервалу довіри, де міститься істинне мате­матичне сподівання, використовують відомий факт, що вибіркове середнє має нормальний розподіл із математичним сподіванням і дисперсією . Тоді величина (перетворення Фішера) підпорядкована стандарт­ному розподілу ( , ). Якщо обсяг вибірки , то змінна має розподіл Стьюдента з ступенями вільності:

(5.7)

або

,

. (5.8)

Мінімально необхідна кількість вимірювань для оціню­вання математичного сподівання із заданою точністю

З формули довжини довірчого (пів)інтервалу (5.8) для матема­тичного сподівання можна отримати (для великих )

– (5.9)

рівняння, що визначає для заданого . Його розв’язують за допомогою ітераційної процедури, що відома як метод послідовних наближень. Маємо такий алгоритм.

1. Ініціалізація. Приймемо – деяке початкове на­ближен­ня, наприклад, наявна кількість даних.

2. Розрахунок. За формулою (5.9) знаходимо нове значення (ціла частина отриманого числа).

3. Критерій завершення. Порівнюємо і . Якщо , то stop. (Задача розв’язана), інакше перейти до п. 4.

4. Переприсвоєння: , і повертаємося до п. 2.