13.4. Предельный анализ в экономике
Предельным анализом называется применение дифференциального исчисления в экономике и бизнесе. В экономике широко используются средние величины: средняя стоимость продукции, средняя производительность труда и т. д. В равной степени средние величины важны и при коммерческой деятельности: средний доход, средний объём продаж и т. д.
Но при планировании развития производства, да и любой предпринимательской деятельности, возникает такая задача: требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты, и, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. Оперируя средними величинами, ответа на такой вопрос получить нельзя. Здесь речь идёт о приростах переменных величин. В подобных задачах нужно находить предел отношения приращений рассматриваемых величин или, как говорят, предельный эффект. Следовательно, здесь применимо понятие дифференциального исчисления – производной функции.
Поясним сначала понятие предельного дохода. Полный или суммарный доход определяется в первом приближении функцией (13.8):
,
где , , график которой представлен на рис. 100.
Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода по количеству товара (единственная переменная, от которой в нашей простой модели зависит ). Таким образом, по определению предельный доход есть
.
(13.14)
Приращение дифференцируемой функции, согласно формуле (3.21), приближённо равно дифференциалу этой функции:
.
(13.15)
Отсюда экономический смысл предельного
дохода достаточно прост: он приближённо
равен изменению
суммарного дохода
при изменении количества реализованного
товара
на величину
.
Прилагательное «предельный» в экономике
характеризует не сами величины (как
суммарная или средняя величина), а эффект
их изменения относительно изменения
другого исследуемого фактора на одну
его единицу. Следует учесть, однако, что
экономика не всегда позволяет использовать
предельные величины в силу неделимости
многих объектов экономических расчётов
и дискретности экономических показателей
во времени (например, годовых, квартальных,
месячных и т. д.).
Кроме понятия предельного дохода используется также понятие среднего дохода, который определяется как доход на единицу продукции:
.
(13.16)
Это общее выражение показывает, что средний доход совпадает с ценой. Конкретное выражение для среднего дохода можно получить, подставляя вместо функцию спроса. В случае «монопольной» модели, т. е. такой ситуации на рынке, когда одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определённого товара или услуги и, соответственно, цены на них, имеем
.
(13.17)
Графики зависимости среднего и предельного доходов в условиях монопольного рынка приведены на рис. 101.
Рис. 101 Рис. 102
В противоположность монополии рассмотрим
другой крайний случай – совершенного,
конкурентного рынка. Эта модель
предполагает, что имеется большое число
независимых фирм, продающих однородную
продукцию, и нет никаких препятствий
для «вхождения в рынок». Кроме того,
каждая фирма производит (продаёт) лишь
небольшую долю от общего объёма продукции
и не способна контролировать цены
(сговор исключается). При этих условиях
возможна устойчивая продажа только по
преобладающей рыночной цене. Если
обозначить эту постоянную цену, т. е. не
зависящую от действий отдельной фирмы,
через
,
то кривая спроса будет иметь уравнение
.
(13.18)
Соответственно, суммарный доход
,
предельный доход
,
(13.19)
средний доход
.
(13.20)
Отсюда следует, что в модели чистого рынка предельный и средний доходы совпадают (рис. 102), а в условиях модели монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода (рис. 101).
Рассмотренный выше подход может быть
применён и к другим экономическим
понятиям. Например, если известна
функциональная зависимость издержек
(затрат)
от объёма продукции
в виде
,
то можно определить предельные издержки
как
.
(13.21)
Экономический смысл этой формулы таков: предельные издержки приближённо равны изменению полных издержек при изменении выпуска на одну единицу.
Рассмотрим теперь модель производственной
функции, т. е. экономико-математическое
уравнение, связывающее переменные
величины затрат (ресурсов) с величинами
продукции (выпуска). В общем случае
производство продукции, включая
коммерческую и финансовую деятельность,
зависит от многих факторов. Такая
зависимость одной величины от ряда
других является функцией нескольких
переменных и будет рассматриваться
позже. Сейчас же ограничимся случаем,
когда количество продукции
зависит только от приложенного труда
(для фирмы это просто численность
персонала). В краткосрочном плане такое
допущение приемлемо, и производственная
функция может быть записана так
.
(13.22)
Для оценки эффективности производства
часто используется средняя
производительность труда
,
которую естественно определить в виде
отношения
.
(13.23)
Руководителей фирмы часто, однако, интересует вопрос, как изменится объём продукции при увеличении (уменьшении) численности персонала . Ответ можно получить, введя понятие предельной производительности труда как производную от продукции по величине приложенного труда
.
(13.24)
Экономический смысл этого понятия: предельная производительность труда приближённо равна изменению объёма выпускаемой продукции при изменении численности персонала на одну единицу.
Рассмотрим пример, когда производственная функция имеет вид
.
Будем считать, что эта формула эмпирическая. Вычисляя производную, находим предельную производительность труда
.
Для примера возьмём:
;
;
;
;
.
Подставляя в полученную формулу значения
,
легко находим соответствующие величины
предельной производительности труда.
Результаты вычислений представим в
таблице 9.
Таблица 9
|
1 |
9 |
100 |
2500 |
22500 |
|
146 |
46 |
11 |
|
|
Из таблицы 9 видно, что предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала и, начиная с некоторой численности, становится отрицательной. Это означает, что при дальнейшем увеличении персонала производство продукции будет падать! Неожиданный результат, который тем не менее часто наблюдается на практике: если для какого-то дела привлекается слишком много исполнителей, они просто начинают мешать друг другу.