3.1.2. Изменяющиеся взносы

Используются тогда, когда нет возможности платить постоянно равными долями:

Y_t = D*q+R_t (4)

R_t = R+a*(t–1), t=1,2,…N

a – разность прогрессии (арифметической)

В конце периода получим размер взноса, рассчитываемый следующим образом:

R= (5)

Пример

Средства поступают в ПФ в виде ежегодной ренты в течение 5 лет. Платежи каждый раз увеличиваются на 500 т. р. = а. Долг на момент начала погашения D=10 млн. р. На взносы начисляются проценты r=10%, q=9,5% .

По формуле (5) получим величину взноса:

R= =732.91 т. р.

Для расчета ежегодных сумм, вносимых в фонд получим зависимость:

R_t=732,91+500*(t–1), t=1,2,…5

3.1.3. Погашение долга в рассрочку

Возможны варианты.

Погашение основного долга равными суммами

Ежегодно на погашение основного долга тратим:

d=D/n n – лет (6)

На остаток долга начисляются проценты, поэтому в конце каждого года необходимо заплатить:

Y_t = D_t-1*q + d (7)

D_t = D_t-1* (8)

Если оплата проводится р раз в году, получим

Y_t= (9) t=1,2,…p*n

При этом D_t = D_t-1*

3.1.4. Погашение долга равными срочными уплатами (Y=const)

Уточнения к расчету непрерывной ренты с использованием силы роста

S–наращенная сумма

k– размер платежа за единицу времени

δ = ln(1+q)

q – процентная ставка за единицу времени

δ –соответствующая ей сила роста

Если время t измеряем в годах, то q- по-прежнему ставка годовых, но силу роста надо уменьшить в 4 раза:

δ₁= δ/4

Соответственно в практической работе надо силу роста уменьшить в 4 раза, а не ставку годовых.

Возможны следующие варианты планирования:

1. Задается срок погашения долга, исходя из которого, рассчитывают размер выплаты

2. Задается сумма выплат и определяется срок погашения

Периодическая выплата суммы Y равнозначна выплате ренты с заданными параметрами, поэтому:

Y= D/a_n,q (12), где n и q заданы

Размер суммы первого погасительного платежа определяем следующим образом:

d₁=Y–D*q (13)

Далее используем рекуррентную формулу:

d_t = d_t-1*(1+q) (14)

Эти суммы образуют числовой ряд, поэтому, чтобы найти сумму погашенной задолженности на конец периода t можно найти сумму этого ряда следующим образом:

W_t = (15)

Такие расчеты в частности требуются в целях пересмотра условий долговременного кредитования (ипотека)

Пример 1

Долг в сумме 1 млн. р. надо погасить за 5 лет. Процентная ставка равна q=10%.

Используя полученные формулы, найдем сумму погашенного долга на конец третьего года:

a_5,10 =3,790787

Y=1000/3,790787=263,797 т. р.

d₁=263,797-1000*0,1=163,797 т. р.

По формуле (15) получим:

W₅ =163,797*S_3.10=163.797*3.31=542,169 т. р.

Пример 2

Заданы расходы по обслуживанию долга (Y). Найти срок n.

Срок погашения находится из условия постоянной ренты:

n=

Переменные расходы по займу(Y≠const)

Пусть ряд срочных выплат представляет собой геометрическую прогрессию:

Y, Y*k, Y*k²,… Y*k^n-1

Приравниваем современную стоимость этой ренты к сумме первоначального долга (D), получим:

Y=D* (17)

k-годовой темп роста платежей

Пример:

D=1000 т.р

n=5 лет

q=6%

q=0.9

Y=1000* =286.353 т. р.