1. Основы финансовой математики

1.1.Наращение, реинвестирование, дисконтирование

Возможно с использованием простых и сложных процентов при простых и переменных ставках.

Простые проценты используются при кредитовании небольших временных периодов (не более 1 года). Наращенная сумма долга, депозита, других инвестиционных средств рассчитывается следующим образом:

S_n=S₀*(1+n*q)= S₀+Q (1)

q – постоянная ставка простых процентов

n=t/K –продолжительность периода, которая измеряется в долях года

t (дней)

К=360 или 365 – временная база, в зависимости от которой существуют три варианта расчета:

• Британский

• Французский

• Германский

В британском используется точное число дней в году, то есть 365,

Французский предусматривает приближенное определение процентов и точное число дней в году (365/360)

Германский использует округленное число дней в году (360/360) и приближенный способ вычисления процентов

Реинвестирование – это процесс неоднократного инвестирования суммы вклада (депозита) вместе с начисленными на него процентами. При различных периодах реинвестирования наращенная сумма получается следующим образом:

S_n=S₀*(1+n₁*q₁)(1+n₂*q₂ )…= (2)

n₁ ,n₂ ,…n_m – продолжительность периодов реинвестирования

_m

S_n=S₀ (1+n_t*q_t ) (3)

t=1

n_t - продолжительность текущего периода

q_t - процентная ставка в периоде t

_m

N ₌  n_t – общая продолжительность реинвестирования

_t=1

Дисконтирование – задача, обратная наращению, когда по сумме в конце финансовой операции, требуется найти исходную.

Известно два вида дисконтирования:

• Математическое

• банковское

Математическое: S₀=S_n /(1+n*q) (4)

S_n - сумма в конце(через время n)

S₀ = S_n – в скобках указан дисконтный множитель

D = S_n–S_o – дисконт или скидка

Банковский (коммерческий) учёт векселей заключается в покупке у владельца (кредитора) ценных бумаг по цене, ниже той суммы, которая должна быть выплачена в конце срока, то есть приобретает (учитывает) его (вексель) с дисконтом. Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка:

d= , n – учетный период

S₀=S_n*(1–n*d) (5)

(1–n*d) – дисконтный множитель

Таким образом, при использовании процентной ставки наращения q и учетной ставки дисконтирования d возможно решение прямой и обратной задач.

	прямая	обратная
q	Наращение: Sn=S0(1+n*q)	Дисконт S0=Sn / (1+n*q)
D	Дисконт S0=Sn (1–n*d)	Наращение: Sn=S0 /(1–n*d)

Совместное начисление процентов по ставке наращения и дисконтирование по учетной ставке

Когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга необходимо решить две задачи:

1. Определить конечную сумму долга на момент начисления

2. Рассчитать сумму, получаемую при учете путем дисконтирования

S₂=S₁*(1+n₁*q) (1–n*d)

n₁ – срок платежного обязательства, в течении которого начисляются проценты

n₂ – срок от момента учета до погашения долга

n₁ – весь срок операции

n₂ – оставшийся до погашения

S₁ – первоначальная суммы ссуды

S₂ – сумма получаемая при учете обязательств (стоимость векселей)

Пример:

Обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. рублей по ставке q=20% годовых было учтено (вексель продан в банк) за 40 дней до срока погашения при учетной ставке d=15%, то есть банк покупает вексель со скидкой

q= 20%

d= 15%

Получим: S₂ = 2(1+0,2*100/365)(1-0,15*40/360)=2,074(млн. рублей)

При наращении используется временная база 365 дней, а при дисконтировании – 360 дней, то есть при наращении используются точные проценты, а при учете – коммерческие(360 дней)

Пример:

Определить доходность операции для кредитора, если предоставление ссуды в 2 млн. предусматривает ее погашение через 100 дней в размере 2,5 млн.

Доходность выражается в виде q и d

q=360(2,5–2)/(100*2)=0,9 (90% годовых)

d=360(2,5–2)/(100*2,5)=0,72 (72% годовых)

Пример:

Определить эквивалентные ставки, если размер дисконта оговаривается в процентах от всей суммы платежа

q= = =

d_n – размер дисконта

d= = d_n /n

Пусть d_n =25%: кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 10 дней, удерживается дисконт 25%. Определить простую годовую процентную ставку и дисконт при временной базе К=365 дней.

q= =0,25/0,75(200/365)=0,60833(60,833%)

d=0.25/(200/365)=0.45625 (45.625%)

Сложные проценты

Используются в долгосрочных финансовых операциях. Если проценты не выплачиваются по ходу их наращения, а присоединяются к сумме долга, что по сути представляет собой реинвестирование, предусматривает решение задачи наращения и дисконтирования с постоянными и переменными ставками при различных временных периодах. Сумма наращения через n периодов:

Sn=So* (1)

Если ставка меняется, то в более общем случае получим:

S=So* = So* (2)

q_t – значение ставки в периоде n_t

Пример:

q₁=q₂=30%

q₃= 28%

q₄=25%

Определить множитель наращения через 4 года:

(1+0,3)²(1+0,28)(1+0,25)=2,704

Присоединение начисленных процентов к сумме, служащей базой денежного начисления называют капитализацией. Обычно капитализацию проводят через равные интервалы времени (год, полугодие, квартал). Если срок n<1, то наращение по простым ставкам дает больший результат, чем по сложным.

Учитывая неоднократную капитализацию в течение периода можно определить наращенную сумму S следующим образом:

S=So* (3)

n*m – общее число периодов капитализации за весь срок капитализации

n – лет

m – число капитализаций в году

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов:

• Математический

• Банковский

Математический учет:

So=S* =S*vⁿ (4)

vⁿ =(1+q)^-n – учетный (дисконтный) множитель

При наличии m капитализаций в году получим:

So= S*v^m*n (5)

v^m*n = (1+q/m)^-m*n

So – приведенная к текущему моменту (современная) стоимость финансовой операции

Банковский учет предусматривает определение современной стоимости следующим образом:

So=S* (6)

D=S– S₀ = S*[1–(1–d) ⁿ] – дисконт

При этом процесс дисконтирования в отличие от предыдущего происходит с замедлением (наращение – с ускорением)

Номинальная и эффективная учетные ставки

f – номинальная ставка, по которой фактически начисляются проценты при m капитализаций в году

Эффективная ставка – это годовая процентная ставка, эквивалентная используемой номинальной

Её можно найти, если прировнять дисконтные множители, в которых используются i–ая и др. ставки

So=S* (7) –дисконтирование с использованием номинальной ставки

So=S* (8) – дисконтирование с использованием учетной ставки

=  d=1-

Эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной. Аналогично изложенному выше для простых процентов. В данном случае при использовании учетных ставок (d) дисконтирование-прямая задача, наращение – обратная и, наоборот, при использовании ставок начисления (q) наращение – прямая задача, дисконтирование – обратная.

Пример:

Какую сумму надо проставить в векселе, если реально выделенная сумма 20 млн. рублей со сроком погашения 2 года. Вексель рассчитывается исходя из сложной процентной ставки q=10%. Число капитализаций: 1) m=4 раза в год; 2) m=1 раз в год

S=So/ =So/

Имеем:

1) S=20/(1-0,1/4)^2*4=24,49 млн. рублей

2) S=20/(1-0,1)²=24,69 млн. рублей

Непрерывные проценты

Используются для оценки силы роста денежных сумм, что позволяет проводить сравнительный анализ различных финансовых потоков ( с различными ставками и числом капитализаций)

Если m   , то есть начисление процентов непрерывно, получим:

S=lim[S₀ (1+q/m)^nm] = S₀*e^q*n (10)

^{m }

q*n= – сила роста

Используя полученный результат, можно осуществить переход от непрерывной ставки к эквивалентной ей дискретной ставке годовых согласно равенства:

q= e^–1 (11)

или

=ln(1+q)

Учет инфляции

Осуществляется с использованием индекса цен и индекса покупательской способности, которые являются взаимообратными величинами:

I_n=1/I_p (12)

I_p – индекс цен

I_n – индекс покупательской способности

Соответственно наращенная сумма с учетом простых процентов и инфляции (С):

C=S/ I_p =S*In (13)

I_p=(1+h) – индекс цен при темпе инфляции h

Таким образом, реальное наращение с учетом инфляции согласно (13) составит:

С= (14), где

Ip= (15) – индекс цен в общем случае при разных темпах инфляции в период t

h_t = const = h

I_p =(1+h)ⁿ (16)

Из условия отсутствия наращения согласно формуле (14) благодаря взаимному уравновешиванию процентной ставки и инфляции, получим минимальную необходимую ставку простых процентов из следующего уравнения:

1+n*q= I_p (17)

q (I_p-1)/n

Существует понятие инфляционной премии и брутто-ставки, скорректированной с учетом инфляции. Используя условие (14) получим:

=1+n*q (19)

r– брутто-ставка

r= (20)

Она компенсирует инфляцию и обеспечивает рост, эквивалентный ставке q . Для случая сложных процентов учет инфляции проводится следующим образом: аналогично выражению (14) для сложных процентов получим значение реальной суммы наращения по сложным процентам:

S_o – без учета инфляции

C – с учетом

С= (21)

C = S_o – условие отсутствия наращения выполняется при q=h, то есть когда темп роста инфляции равен процентной ставке.

Чтобы найти брутто-ставку используем условие:

=1+q (22)

r=q+h+q*h

(h+q*h) – инфляционная премия, обеспечивающая наращение, эквивалентное ставке q.

Тот же результат можно получить путем индексации первоначальной суммы с учетом индекса цен следующим образом:

S= S₀ *Ip* (1+q)ⁿ

Определение реальной ставки процентов в условиях инфляции

Требуется найти фактическую ставку q , если известен темп инфляции и соответствующий индекс цен: h и I_p. А также используется конкретная брутто-ставка r. Используя условия наличия наращения (14) и (21) соответственно для простых и сложных процентов получим реальную ставку простых процентов:

q= (24),

для сложных процентов:

q= = (25)

Таким образом, можно определить реальную ставку процентов, которая обеспечит отсутствие потерь кредиторам.

Изложенные выше задачи сводятся к решению вопросов эквивалентности процентных ставок, обязательств и других условий финансовых операций

Пример 1.

Соотношение эквивалентности для простых и сложных процентов получим прировняв множители наращения:

1+n*q₀ =(1+q)ⁿ (26)

q_o = (27)

q = –1 (28)

Пример 2.

Эквивалентность простых процентных ставок – соотношение между ставкой наращения и ставкой дисконтирования при одинаковой временной базе:

К=360 дней или К=365 дней

q₀ =d₀ /(1–n*d₀ ) d₀ =q₀ /(1+n*q₀ )

q₀ – процентная ставка

d₀ – учетная ставка

Пример 3.

Эквивалентность простых и сложных ставок с учетом числа капитализации:

q₀ = – простая

q =m*( ) – сложная

d₀ = – простая

q =

d₀ =

q =m*( )

Пример 4.

Эквивалентность сложных ставок:

f – за период (m=1,2…)

q – за год

q = d/(1–d)

d = q/(1+q)

Или с учетом v=(1+q)^-1

d=q*v v= 1–d

q – d = q*d

Очевидно, что в ряде случаев при одинаковой частоте капитализации срок n не играет роли

Удвоение суммы долга (вклада)

Часто требуется определить, через какое время сумма, на которую начисляются проценты, увеличится в N раз.

Для простых процентов получим:

(1+n*q₀) = N n=(N–1)/q₀ (1)

Для сложных процентов:

(1+q)ⁿ=N n= (2)

Чаще всего интересует случай, когда N=2 

n=1/q₀ (1a) – для простых процентов

N=ln2/ln(1+q)≈0.7/q (2a) – для сложных процентов

Пример

q=10%

Найдем через какой срок удвоится сумма:

n=1/q₀ =10 лет

Если q=10% – сложные проценты, то n=0.693147/0.09531=7.27 года