1.2. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей

Эквивалентными считаются платежи, которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными.

Приведение осуществляется путем дисконтирования или наращения. Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, одна из сторон терпит ущерб, размер которого можно найти.

Пример

Проверить эквивалентность (сравнить):

1) выплатить 400 т. р. через 4 месяца

2) выплатить 450 т. р. через 8 месяцев

Ставку применим q₀ =20% годовых и найдем приведенные значения следующим образом:

Р₁=400/(1+0,2*4/12)=375 т.р.

Р₂=450/(1+0,2*8/12)=397,06 т.р.

Следовательно, операции не эквивалентны. Выплата большей суммы менее выгодна (вторая операция)

Выбор процентной ставки не имеет существенного значения, так как существует понятие барьерной ставки, значение которой позволяет проводить эквивалентное сравнение операций в весьма широком диапазоне. Условием определения барьерной ставки для простых процентов является следующее равенство:

(1)

Отсюда мы находим барьерную ставку q₀:

Графически это можно представить следующим образом:

S

q₀^ q₀

Получим q₀^ =(1–400/450)/[(400/450 )*(8/12)–4/12]=0.428 (42.8%)

Вывод: очевидно, что полученный выше результат, безусловно, справедлив для любых ставок от 0 до q₀^ .

При дисконтировании по сложной ставке значение барьерной ставки можно найти из уравнения:

S₁*(1+q)^-n₁=S₂*(1+q)^-n₂ (3)

Консолидация задолженности.

Задача, решение которой позволяет заменить совокупность имеющихся задолженностей другой – эквивалентной совокупностью. Для этого составляют уравнение эквивалентности: для краткосрочных обязательств на основе простых ставок, для долгосрочных – сложных.

Пусть требуется изменить условие контракта, согласно которому платежи (обязательства) S₁, S₂, S_n имеют сроки погашения n₁, n₂, n_n . Надо заменить эту совокупность одним платежом S₀ со сроком n₀.

Возьмем два варианта:

1). Найти S₀, если задан срок n₀,

2). Найти n₀, если известно S₀.

Первый вариант.

Уравнение эквивалентности имеет вид:

(4)

S_i – размеры платежей со сроками n_i< n₀

S_j – размеры платежей со сроками, превышающими n₀: n_j> n₀

t_i = n₀­­ – n_i

t_j = n_j – n₀

Пример

Есть два обязательства:

S₁ =1 млн. р.

n₁ =150 дней

S₂ =0,5 млн. р.

n₂ =180 дней

q₀ = 20%

Требуется заменить эти обязательства одним консолидирующим.

Назначим срок консолидирующего платежа n₀ = 200 дней.

Консолидирующая сумма, которую надо выплатить через 200 дней составит:

S₀= тыс. р. – сумма, эквивалентная двум обязательствам.

При сложной процентной ставке уравнение эквивалентности имеет вид:

(5)

Пример

S₁ =1 млн. р.

n₁ =2 года

S₂ =2 млн. р.

n₂ =3 года

Найдем размер консолидирующего платежа, который надо внести через n₀ = 2,5 года, то есть

S₀=1000*1,2^0,5+2000*1,2^-0,5=2921,187 тыс. р.

Второй вариант.

Если требуется найти срок консолидирующего платежа, если его величина установлена, то есть найти n₀.

При использовании простых процентных ставок условие эквивалентности имеет вид:

(6)

Решение получится, если

Т. е. размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы заменяемых им платежей, приведенных к моменту погашения (современных стоимостей).

Срок n₀ пропорционален величине консолидированного платежа.

Пример

S=10, 20, 15 млн. рублей

n=50, 80, 150 дней

q₀ = 10% годовых

К=365 дней

Найдем дисконтированную (современную) стоимость этих обязательств:

Р=10*(1+0,1*50/365)^-1+20*(1+0,1*80/365 )^-1 +15*(1+0,1*150/365)^-1=43,84 млн. рублей

Назначим размер консолидированного платежа не меньше, чем найденная величина: So=50 млн. рублей

Находим срок этого платежа:

n₀ = 1/0,1*(50/43,84-1)=1,404 года=512 дней

Чтобы найти срок уплаты консолидированного платежа при использовании сложных процентных ставок, используется следующее уравнение эквивалентности:

(7)

n₀ = (7^,)

Q=

Если S₀=∑S_j, то

(8)

Погрешность n₀ , найденная по формуле (8) возрастает при увеличении процентной ставки.

Пример

S₁=1 млн. рублей

S₂= 2 млн. рублей

n₁=2 года

n₂=3 года

S₁ и S₂ заменим одной S₀ = S₁+S₂ = 3 млн. рублей

Q = 1*1,2^-3+2*1,2^-3=1,8518

n₀=ln(3/1.8518)/ln(1.2)=2.646 года

Приближенное значение пот формуле (8) составляет:

n₀=2.667 года (∆=7 дней – погрешность)

Общая постановка задачи изменения условий контракта

При использовании простых процентов:

Для случая сложных процентных ставок:

,

где vⁿ = (1+q)^-n – дисконтный множитель

S_i, n_i – параметры заменяемых платежей

S_j, n_j – параметры заменяющих платежей

Пример:

10 и 5 млн. рублей должны быть выплачены 1 ноября и 1 января соответственно. Договорились 6 млн. рублей выплатить 1 декабря, а остаток – 1 марта. Найти сумму эквивалентного остатка.

Представим задачу графически:

10 6 5 ?

1 ноября 1 декабря 1 января 1 марта

q₀ = 20%

К=365 дней

Назначим базовую дату – момент выплаты 5 млн. рублей – 1 января. Уравнение эквивалентности будет иметь вид:

10*(1+0,2*61/365)+5=6*(1+0,2*31/365)+S*(1+0,2*59/365)^-1

Находим S:

S=9,531 млн. рублей

Если назначить базовую дату 1 марта, то получим

S= 9,523 млн. рублей

Конвертация валюты и начисление процентов

Сравним результаты операций с использованием простых процентов от непосредственного размещения денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту.

Возможны варианты:

1. BPPB

Р – рубли, В – валюта

Валюта переводится в рубли, наращение ведется по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется в валюту

2. PBBP

Рублевая сумма переводится в валюту, наращение процентов происходит на валютном депозите, в конце операции валюту переводят в рубли

Будем использовать следующие обозначения:

P_v , P_r – сумма депозита в валюте и рублях соответственно

S_v, S_r – наращенная сумма в валюте и рублях соответственно

K_o, K₁ – курс обмена в начале и конце операции

n – срок депозита

q – ставка наращения в рублях

f –ставка наращения в валюте

1. Наращенная сумма в конце операции

S_v=P_v*K_o*(1+q*n)^1/K₁ (1)

m= (2) – множитель наращения с учетом двойной конвертации

m= = (3)

k – темп изменения обменного курса за время операции

Доходность операции с учетом формулы (1):

i= = (4)

Если k=1 (неизменный курс валюты), доходность операции будет равна рублевой ставке наращения, то есть i=q

С увеличение k доходность падает по гиперболе:

k>1 i<q

k<1 i>q

При критическом значении k^ доходность( эффективность) – нулевая. Приравняв выражение (4) к нулю, получим уравнение, определяющее критическое значение:

k^=1+n*q (5)

K^₁=K_o*(1+n*q) (5а) – критическое значение курса обмена в конце операции

Зная реальный курс обмена, можно сразу сказать, что операция будет убыточной, если реальное значение превысит критическое

Определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте и применение конвертации не дает дополнительной выгоды. Найдем его из условия:

i

1/n

Вывод: депозит валюты через конвертации в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции будет меньше K_1max

2. Исходная сумма в рублях

S_r = P_r* (8)

j = – доходность

j= = j(k) – линейная

При k=1 j=f

если k>1 j>f

если k<1 j<f

Из условия j=0 находим

k ^=1/(1+n*f)

K^₁=K_o/(1+n*f) (10)

Таким образом, это недопустимые значения. Нельзя допустить, чтобы реально темп уменьшения курса валюты был меньше.

Из условия равенства доходности без конвертации или с ней найдем минимальные значения темпа изменения курса валюты к концу операции:

=1+n*q

k_min=

K_1min=К_о*

Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого, если обменный курс в конце операции ожидается больше найденного минимально необходимого

Для случая сложных процентов:

1. BPPB

S_v=P_v* (12)

m= (13) – множитель наращения

Доходность операции тоже представим в виде сложных процентов:

S_v=P_v*(1+i)ⁿ (14)

i=

Представив выражение (12), получим

i=

i= (15)

С увеличением k эффективность i падает:

k=1 i=q

k>1 i<q

k<1 i>q

k^=(1+q)ⁿ – критическое значение, превышать которое нежелательно во избежание убытков.

Максимально допустимое значение k, при котором ещё имеет смысл конвертировать валюту, найдем из:

(1+f)ⁿ =

k_max= – темп изменения курса валюты

K_1min=К_о* – величина валютного курса в конце операции

2. PBBP

Аналогично S_r = P_r*

j= -1

Аналогично (15)

k=1 j=f

k>1 j>f

k^=(1+j)ⁿ –1

Пример

P_v =1000;

K_o =26,08 руб./долл.

K1=26,45 руб./долл.

q =22%

f =15%

(360/360)

3 месяца

k=26,45/26,08=1,014187

m=1/k(1+3/12*22/100)=1,0402

S_v=1040.2%

i=0.16(16%) – доходность

i>f  для сравнения прямое наращение по долларовой ставке составит :

S_v =1000(1+0.25*0.15) =1037.5

Пример

Исходные данные те же

Pr=1 млн. рублей

S_r=1000*26.45/26.08*(1+0.25*0.15)=1052.2 тыс. рублей

Прямое наращение в рублях:

S_r=1000(1+0.25*0.22)=1055 тыс. рублей

При таком сочетании курса валюты депозит через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита. Это следует также из значения обменного курса, максимально допустимого:

K_1max=К_о*(1+0,25*0,22)/(1+0,25*0,15)=26,5199

К₁=26,45< K_1max