4.5. Долгосрочные ссуды

Имеют различную доходность, оценка которой усложняется наличием комиссионных и различными вариантами выплат:

1. Когда проценты погашаются последовательными платежами, а основная сумма долга выплачивается в конце срока

2. Долг и проценты погашаются одновременно (последовательно на протяжении всего срока)

3. Поток платежей не регулярный

Ссуда погашается через n лет:

(1)

g – доля комиссионных

q₀ – простая ставка

v = (1+q_эк)^-1

q_эк – искомая ставка эффективности, характеризующая доходность

искомая ставка эффективности, характеризующая доходность

Найдем её из уравнения:

vⁿ + q₀*a_nq­ – (1­–g) = f(q_эк)

или

(2)

Его решаем численным методом, отделив предварительно корень. Если проценты выплачиваются р раз в году, получим р-срочную ренту, для которой надо множитель a_nq­ заменить на a_nq­^(р)

Пример:

На три года выдана ссуда 1 млн. р. под 10% годовых. Скидка в пользу владельца денег – комиссионные – 5%. Фактически получено 950 тыс. р.

Для оценки доходности с точки зрения кредитора используем уравнение:

(1+x)^-3+0.1* a_3,x­–0.95=0

a_3,x­=(1+x)^-1+(1+x)^-2+(1-x)^-3

Отсюда численным методом получаем:

x=0,12088 (12,088%)

В просмотренном случае проценты начисляются по простой ставке, а доходность оценивается по сложной.

Ссуда с периодическими выплатами

Уравнение имеет вид:

D*(1–g)–R*a_n,q=0 (4)

R – ежегодная сумма по обслуживанию долга

R=D/a_n,q

После преобразования получим:

a_n,qэ – a_n,q*(1–g)=0 (5)

Аналогично для р-срочной уплаты:

a_n,qэ­^(р)– a_n,q­^(р)*(1–g)=0 (6)

Пример (продолжение):

Пусть задолженность погашается равными платежами.

Получим:

a_3,q­= a_3,10­*(1–0,05)=2,48686*0,95=2,36251

Для определения ставки, характеризующей доходность, используем линейную интерполяцию:

=2,36251

Задаем q:

q	a3,q­
12%	2,40183
?	2,36251
13%	2,36115

Нерегулируемый поток платежей: R₁,R₂,…,R_n

Уравнение, из которого можно найти оценку доходности в виде ставки дисконтирования, имеет вид:

t_j – интервал от начала сделки до момента выплаты j-го погасительного платежа.

Или после смены системы отсчета, в которой время отсчитывается от момента платежа до конца сделки, получим:

(8)

Данный подход используется для оценки доходности облигаций и производственных инвестиций (смотри соответствующую практическую работу №10)

5.6. Упрощенные методы оценки доходности

Используются в случаях сложных схем, предусматривающих рассрочку платежей. Практически регулярный поток часто заменяют разовым платежом, отнесенным к середине общего срока погашения.

Пример 1:

Долговое обязательство D покупается по цене (современная стоимость). Долг погашается в течение n периодов. Разовый платеж составляет: R=D/n.

Доходность можно определить из условия:

p=R* a_n,qэ­ (9)

!уравнение решаем относительно q_э

Упрощенный метод предусматривает дисконтирование относительно середины периода Т:

р=D*v^T

Т – срок обязательства (Т=n/2)

При таком подходе допускается большая погрешность, поэтому доказано, что можно уточнить оценку доходности, если назначить «средний» срок обязательства со смешением в зависимости от типа ренты:

• Постнумерандо: T₁=n/2+1/2

• Пренумерандо: T₂=n/2–1/2

Пример:

D=100

p=75

n=5 лет

Оценим доходность усредненной ренты, которая заменяет этот нерегулярный поток платежей. Срок заменяющего эквивалентного платежа назначим ровно в середине периода:

T₀=n/2=2,5

T₁=5/2+1/2=3

T₂=2

q₀=

q₁=

q₂=

Точное значение находим из условия:

75=(100/5)* a_5,q­

q=0,1042

Очевидно, что расположение разового платежа точно в середине интервала дает большую погрешность по сравнению с обыкновенной рентой. Оценка доходности будет существенно завышена (> 20%)

Пример 2:

Оценка доходности при наличии известной процентной ставки по кредиту.

В отличие от предыдущего примера, в котором долговое обязательство заменялось современной стоимостью, найденной неизвестным методом (например, когда долговое обязательство является консолидированным при наличии различных источников его образования). В этом случае известна процентная ставка, которая в сумме с искомой величиной доходности дает оценку доходности операции наращения.

Точное значение можно найти из уравнения:

(12)

v=(1+f_э)^-1 – дисконтированный множитель, содержащий искомую ставку доходности f_э

f_э = f+q_э

f– известная процентная ставка по кредиту

q_э – находим на основе среднего срока (смотри выше)

р	110	100	75	70	60	50
qэ	-3,886	0	12,2	15,33	22,67	31,95
f	10	10	10	10	10	10
fэ	6,114	10	22,2	25,33	32,27	41,95
fэ(точно)	6,175	10	23,11	26,66	35,27	46,85

D=100

Оценку доходности облигаций рассмотрим позднее.