Числовые характеристики
Теорема: Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону равно
М(Х) = n р,
а ее дисперсия Д(Х) = npq
В нашей
задаче М(Х) = 4/3; Д(Х) = 8/9; (Х)
=
Закон распределения Пуассона
Если вероятность появления события А
в n независимых повторных
испытаниях очень мала (р0),
а число испытаний велико
,
при условии
то
говорят, что дискретная случайная
величина Х имеет закон распределения
Пуассона, если она принимает свои
значения вероятностями
λ = пр.
Составим закон распределения для случайной величины Х – числа появления события А
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
к |
… |
рi |
|
|
|
|
… |
|
… |
…
Контроль:
(
в скобках записано разложение в ряд
функции
при
х = ).
Теорема: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , который определяют этот закон, т.Е.
М(Х)=Д(Х)=.
Задача: Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 3 изделия.
n = 500, p(A) = 0,002, = 1
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
рi |
|
|
|
|
Опр. Пусть имеем множество из N элементов, которое состоит из двух подмножеств: в первом M элементов, а в другом N – М. Будем брать из множества N n элементов, в котором содержится m элементов из первого множества М n-m из второго N – М. Тогда говорят, что дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает свои значения с вероятностями
;
где М N, n N, n, М, N N
Ряд гипергеометрического распределения имеет вид:
Х |
0 |
1 |
… |
n |
рi |
|
|
… |
|
Теорема: Математическое ожидание гипергеометрического распределения
,
а дисперсия
.
Задача: Из 10 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу извлекаются 3 билета. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди отобранных.
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
рi |
10/120 |
50/120 |
50/120 |
10/120 |
Контроль: 10/20 + 50/120 + 50/120 + 10/120 = 1
4. Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (О < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 - р.Испытания заканчиваются, как только появится событие А (т.е. количество испытаний неограниченно). Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k—1 испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через X дискретную случайную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: 1, 2, 3…
Пусть в первых k—1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,
Полагая k=1, 2, ... в формуле , получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q
По этой причине распределение называют геометрическим.
Легко убедиться, что ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда есть сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньшим единицы, тогда сумма его :
Замечание: если количество испытаний ограничено каким- либо натуральным числом k , то последнее значение вероятности в ряде распределения будет равно qk-1 , означающее, что в предыдущих k-1 испытаниях событие А не появилось.
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Составить ряд распределения ДСВХ- количество истраченных снарядов, если а) количество выстрелов неограниченно, б) можно произвести не более трех выстрелов.
Решение. По условию, р=0,6, тогда q=0,4. Если количество выстрелов неограниченно, то Х=N и вероятность истратить Х=k снарядов до первого попадания вычисляется по формуле
,
тогда получим бесконечную последовательность, и ряд будет иметь следующий вид:
Хi |
1 |
2 |
… |
k |
… |
pi |
0,6 |
0,24 |
… |
|
… |
В случае ограниченного количества выстрелов- не более трех, ряд будет иметь вид:
хi |
1 |
2 |
3 |
pi |
0,6 |
0,4·0,6=0,24 |
0,42=0,16 |