Свойства дисперсий

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Д(С) – М(С- М(С))² = М(С - С) ² = М(0) ² = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

Д(СХ) = С² Д(Х)

Доказательство:

Д(СХ) = М(СХ – М(СХ))² = М(СХ – СМ(Х))² = М(С(Х – М(Х)))² =

С²М(Х – М(Х))² = С² Д(Х)

3. Дисперсия суммы нескольких взаимно-независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Д(Х₁ ± Х₂ ± … ± Х_n) = Д(Х₁)+ Д(X₂) + … Д(Х_n),

где Х₁, Х₂, … Х_n – взаимно-незасвисимые величины.

4. Следствие: дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины

Д(С + Х) = Д(Х)

Д(С+ Х) = Д(С+ Х)=Д(С) + Д(Х) = Д(Х)

Постоянная не дает рассеяние ее прибавление к случайной величине Х ведет лишь к смещению всех ее значений на одну и ту же постоянную величину, а рассеяние остается прежним.

5. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия Д(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Опр. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение, как и математическое ожидание и дисперсия, так же относится, к числовым характеристикам случайной величины. Но если дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины, то среднее квадратическое отклонение будет иметь ту же размерность, что и сама случайная величина.

Некоторые законы распределения вероятности

Дискретных и непрерывных случайных величин

1. Биномиальный закон распределения Напомним, что законом распределения вероятностей случайной величины называется перечень всех возможных ее значений и соответствующих вероятностей.

Рассмотрим задачу в общем виде:

Пусть производится n независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти; вероятность успеха постоянна р(А) = р; р( ) = 1-р =q.

Опр. Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение с вероятностью р, если она принимает свои значения (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Составим закон распределения для случайной величины Х – числа появления события А в n независимых повторных испытаниях:

Х	0	1	2	…	к	…	n
рi	qn			…		…	рn

Проверка: qⁿ + + + …+ + … + рⁿ = (q+ р)ⁿ =1

Вычисленные вероятности при различных значениях случайной величины совпадают с соответствующими членами разложения бинома Ньютона, поэтому закон назвали биномиальный.

Задача: Игральная кость подбрасывается 4 раза. Составить закон распределения числа выпавших очков, кратным трем.

Решение: Х – число выпавших очков, кратных трем.

А – выпадение числа очков, кратным трем.

Испытание: подбрасывание игральной кости – испытания независимые.

подбрасываем 4 раза – повторные, с постоянной вероятностью, поэтому рассчитывать вероятности случайной величины будем по схеме Бернулли:

Х	0	1	2	3	4
рi	16/81	32/81	24/81	8/81	1/81

n = 4 m = 5 (0,…,4) p = 2/6 = 1/3 q = 2/3

Проверка: 16/81 + 32/81 + 24/81 + 8/81 + 1/81 = 1