2. Основы гидростатики, динамики и кинематики жидкости

2.1. Тема 1. Равновесие жидкости

2.1.1. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости. Поверхность равного давления

Рис. 2.9. Объем жидкости, находящийся в равновесии

Предположим, что в точке М находится объем жидкости dV (см. рис. 2.9). На него воздействуют силы давления соседних объемов. Определим результирующую силу давления на объем dV. dV расположен параллельно осям координат, da, db, dc – его стороны. В точке М давление обозначим как p. В точках и , принадлежащих сторонам параллельным плоскости x0y давление будет соответственно и . Если рассматривать одну из сторон параллелепипеда, то результирующая сила давления на эту сторону действует по нормали к ней и ориентирована внутрь объема dV.

Для результирующей силы сторон объема dV, параллельных плоскости x0y можно записать

или ,

параллельна оси 0z.

Разность можно записать в виде , но в соответствии со свойством градиента давления можно написать

, ,

откуда .

Так как и , то

.

Таким образом, результирующая сила , но dcdadb = dV, oткуда

Аналогичные результаты мы получим для сил и .

Результирующая всех сил, действующих на объем dV будет соответственно

(2.1)

Выводы:

1. Результирующая сила направлена в противоположную сторону, чем

2. перпендикулярна плоскости, проходящей через точку М, на которой давления одинаковы и ориентирована в сторону уменьшения давления.

В жидкости, находящейся в покое, действуют:

– сила тяжести

,

направленная вертикально вниз;

– равнодействующая сила давления

, = 0

или .

(2.2)

Выводы:

1. Вектор градиента давления направлен вертикально вниз, как и вектор .

2. В жидкости, находящейся в равновесии давление увеличивается сверху вниз.

3. В покоящейся жидкости плоскости равного давления горизонтальны.

4. В покоящейся жидкости давление в точке зависит только от ординаты z.

Т.к. , то с учетом полученного уравнения, можно записать . Т.к. и , то

.

(2.3)

Нами получено основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

2.1.2. Основное уравнение гидростатики

В случае несжимаемой жидкости плотность жидкости не зависит от давления, а если принять температуру постоянной, то можно записать

ρ = const.

Для высот в несколько метров ускорение силы тяжести можно считать неизменным. Таким образом, можно подсчитать разность давления между точками и . Проинтегрировав предыдущее выражение можно получить разность давлений между двумя точками:

,

или .

(2.4)

Нами получено основное уравнение гидростатики в поле силы тяжести.

Если принять , то .

Выводы:

1. В покоящейся жидкости давление увеличивается с увеличением глубины.

2. В покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость представляет собой поверхность, на которой в любой точке давление будет неизменным. Такая поверхность называется поверхностью равного давления.

Три формы записи основного уравнения гидростатики.

Нами было получено основное уравнение гидростатики в форме давлений, т.к. каждый член уравнения представляет собой давление:

и – статическое давление в точках 1 и 2;

и – давление, создаваемое силой тяжести.

Если разделим основное уравнение гидростатики в форме давлений на ρg, то получим основное уравнение гидростатики в форме напоров (см. рис. 2.10)

,

(2.5)

где и – пьезометрические напоры; и – геометрические напоры.

Если первое уравнение разделить на ρ, то получим основное уравнение гидростатики в форме удельной энергии

,

(2.6)

где и – удельная энергия давления; и – удельная энергия положения.