2.2.6. Общее уравнение энергии в интегральной форме (Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости)

Для двух сечений струйки невязкой жидкости это уравнение будет выглядеть следующим образом

.

(2.45)

Сумма слева представляет полную удельную энергию струйки в сечении 1-1, сумма справа – полную удельную энергию струйки в сечении 2-2. Можно записать, что

.

На практике энергия струйки в начале больше энергии струйки в конце, т.к. часть энергии теряется на преодолении сил вязкости. В процессе движения вязкой жидкости запас ее механической энергии уменьшается, и на самом деле

.

Обозначим энергию, затрачиваемую на преодоление сил сопротивления E_пот. E_пот – это та часть механической энергии, которая, вследствие вязкости, переходит в тепловую энергию. Другими словами можно сказать, что E_пот – это часть энергии, которая израсходована на преодоление гидравлических сопротивлений.

Е1 = Е2 + Eпот.

(2.46)

При выводе уравнения Бернулли для элементарной струйки можно было пренебречь изменением скорости и давления в пределах нормальных сечений благодаря их малым величинам. В потоке жидкости скорости и давления в пределах живых сечений различны, и это необходимо учитывать. Согласно гипотезе Ньютона, жидкость как бы прилипает к стенкам канала, по которому она течет и ее скорость равна нулю. Но с увеличением расстояния от стенки, скорость струек увеличивается. Так называемая мощность потока складывается из энергии отдельных струек

,

где N – мощность потока; dN – мощность струйки; S – площадь живого сечения потока.

Для мощности струйки можно записать:

dN = Ed = (gz + + ) ρuds,

где ds – площадь живого сечения струйки.

Величина удельной энергии потока равна частному от деления мощности потока на массовый расход

.

Это уравнение можно разбить на два интеграла

E = = ,

где – удельная потенциальная энергия потока относительно выбранной плоскости сравнения; – удельная кинетическая энергия потока.

Для вычисления надо знать закон изменения давления по живому сечению. Для плавноизменяющихся течений ускорения и силы инерции незначительны, поэтому ими можно пренебречь. Экспериментально доказано, что в плавноизменяющемся потоке давления распределяются по закону гидростатистики gz = const.

= gz .

(2.47)

Для вычисления интеграла нужно знать закон распределения скоростей по сечению. Умножим и поделим это выражение на .

= = ,

где α – коэффициент, который учитывает неравномерность распределения скоростей в сечении, называется коэффициент Кориолиса. Получаем выражение для удельной кинетической энергии потока:

= .

(2.48)

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости

.

(2.49)

Полученное уравнение позволяет сделать следующие выводы:

1. При увеличении кинетической энергии потока от одного сечения к другому потенциальная энергия уменьшается, и, наоборот, с увеличением потенциальной энергии, кинетическая уменьшается.

2. Коэффициент α тем больше, чем больше скорости отдельных струек отличаются от величины средней скорости. Если скорости всех элементарных струек будут равны средней скорости, то α = 1.