Білет №11 №11 Використання закону повного струму для знаходження магнітних полів

П

оле тороїда. Раніше ми знайшли вектор індукції для довгого та тонкого соленоїду. Отримаємо цю формулу, користуючись законом повного струму. Замість тонкого та довгого соленоїду розглянемо тороїд, на який намотано обмотку з витків, по яких протікає струм . Обмотка рівномірно намотана на весь тороїд, можна говорити про число витків на одиницю довжини , де середня довжина тороїду. При цьому вважаємо, що діаметр самої обмотки , де радіус тороїду.

Тоді за законом повного струму

,

поява у правій частині множника обумовлена тим, що через поверхню, натягнуту на контур, яка проходить по осі всередині тороїду, протікає струм , тому що витків перетинають цю поверхню. Із симетрії задачі

,

тому

,

звідки одразу маємо

CGSM,

CI.

Поле соленоїда.

6 Індуктивність соленоїда (тороїда):

,

де - кількість витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда; V – об’єм соленоїда.

У всіх випадках для знаходження магнітної індукції соленоїда (тороїда) з осердям із використанням наведеної формули для визначення магнітної проникності слід користуватися графіком залежності B від H, а потім формулою

.

11.2

Фігури Ліссажу — замкнуті траєкторії, що прокреслюються точкою, що здійснює одночасно два гармонійних коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямках.

Математичний вираз для кривої Ліссажу

де A,B — амплітуди коливань,a,b — частоти,δ — зсув фаз.

Вигляд кривої сильно залежить від співвідношення a/b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпсу, за певних умов вона має вигляд кола (A = B, δ = π/2радіан) і лінії (δ = 0). Інший приклад фігури Ліссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). Інші співвідношення продукують складніші фігури, які є замкненими за умови a/b — раціональне число. Припускається, що візуальна форма цих кривих є часто тривимірним вузлом, і насправді, проекції на площину багатьох вузлів, включаючи вузли Ліссажу, є фігурами Ліссажу.

Фігури Ліссажу, де a = 1, b = N (N — натуральне число) і

є поліномами Чебишева першого роду степеня N.

Білет №12

1. Формула магнітного потоку довільного поля. Теорема Гауса. Дивергенція та ротор магнітного поля

--Потоком вектора магнітної індукції (магнітним потоком) через площину dS називається скалярна фізична величина, яка дорівнює ,

де   – проекція вектора   на напрямок нормалі до площини dS (  – кут між векторами   і  ) (рис. 112),   – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається з нормаллю   до площини.

--В електродинаміці доводиться теорема Остроградського – Ґаусса для магнітного поля: магнітний потік крізь довільну замкнену поверхню дорівнює нулю:

 Ця теорема є наслідком того, що в природі нема магнітних "зарядів" і лінії індукції будь-якого магнітного поля є замкненими кривими.

--Відсутність в природі магнітних зарядів призводить до того, що лінії вектора В не мають ні початку, ні кінця. Тому відповідно до формули (11.10) потік вектора В через замкнуту поверхню повинен бути рівний нулю. Таким чином, для будь-якого магнітного поля і довільної замкненої поверхні S має місце умова

Ця формула виражає теорему Гауса для вектора В: потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену, поверхню дорівнює нулю.

Замінивши у відповідності з (11.41) поверхневий інтеграл в (49.1) об'ємним, отримаємо, що

2. Диференціальне рівняння згасаючих коливань і його розв’язання

Усі реальні коливальні системи є дисипативними. Енергія механічних коливань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил опору, тому вільні коливання завжди згасаючі – їх амплітуда поступово зменшується.

Для пружинного маятника масою  , що здійснює малі коливання під дією пружної сили  , сила опору пропорційна до швидкості, тобто

,  ,

де   – коефіцієнт опору.

Другий закон Ньютона для згасаючих коливань має такий вигляд:

Введемо позначення

,  ,

де   – коефіцієнт згасання, а   – частота з якою здійснювались би вільні коливання за відсутності опору середовища. Цю частоту називають власною частотою системи.

Білет №13