4.4. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма
Рассмотрим предельный случай ямы с бесконечно высокими стенками
В этом случае
электрон вовсе не проникает в области
,
поэтому для области
следует решить уравнения Шрёдингера
для свободного электрона (4.1) с граничными
условиями
(4.32)
Общее решение его даётся соотношением (4.4). Подставив его в (4.32), получим однородную систему уравнений
Она имеет решение при
Или 
Откуда находим разрешённые значения квантового числа ,
(4.33)
(4.34)
Обратим внимание, что спектр разрешённых энергий электрона в бесконечно глубокой потенциальной яме (4.34) совпадает со спектром резонансных энергий при его надбарьерном движении (4.20).
Коэффициенты
и
связаны соотношением
Или
Если
- нечётное число, то
,
а
,
поэтому
или
.
В этом случае волновая функция будет
чётной,
(35)
Если же
- чётное число, то
,
а
,
поэтому
или
.
В этом случае волновая функция будет
нечётной,
(36)
Все волновые функции должны быть нормированы на единицу,
Для чётных функций получаем
Для чётных функций
Таким образом, в любом случае
С точностью до фазового множителя модуля 1 нормированные волновые функции имеют вид
(37)
(38)