1Б. Задача об инвестировании средств (вариант б).

Разработка нового товара

Неформальное описание задачи

Пусть некий владелец предприятия имеет в своем распоряжении свободные средства и желание увеличить объем продаж. Владелец предприятия рассматривает два варианта вложения средств – разработка нового простого товара и разработка инновационного товара. Вариант разработки простого товара требует небольшого вложения средств, однако потенциально может привести только к небольшому увеличению объему продаж. При разработке инновационного товара требуется вложение значительных средств, однако успех товара приведет к существенному увеличению объема продаж. В случае неудачи простого товара потери средств будут значительно меньше, чем в случае неудачи инновационного товара. Успех или неуспех нового товара определяется поведением потребительского рынка. Задача сводится к выбору наилучшего варианта из двух рассматриваемых. Для оценки качества принимаемого решения будем использовать математическое ожидание объема увеличения продаж.

Формальная постановка задачи

Множество решений , где – решение вкладывать средства в разработку нового простого товара, – решение вкладывать средства в разработку инновационного товара.

Поведение потребительского рынка описывается случайной величиной Y, принимающей значения из множества , где - успех нового товара на рынке, - не успех нового товара на рынке. Принятое владельцем предприятия решение описывается величиной D, принимающей значения из множества D. Вероятность события в случае принятия решения обозначим символом .

В зависимости от принятого владельцем предприятия решения и поведения рынка можно выделить четыре исхода (альтернативы), входящие в множество исходов (альтернатив) , где: - успешное вложение средств в разработку нового простого товара, - не успешное вложение средств в разработку нового простого товара, - успешное вложение средств в разработку инновационного товара, - не успешное вложение средств в разработку инновационного товара.

Каждому из возможных исходов поставим в соответствие ценность исхода (альтернативы) , значение которой определяеся увеличением объема продаж.

На рисунке ниже представлено дерево решений для рассматриваемой задачи.

В данной задаче множество лотерей состоит из двух элементов . На рисунке ниже лотереи приведены в развернутом виде с указанием вероятностей исходов.

Диаграммы влияния

Диаграмма влияния для рассматриваемой задачи имеет вид

Расчет полезностей решений

Ценности исходов (альтернатив) определяются с учетом введенных обозначений как

;

;

.

Полезность решения (лотереи ) равна

.

Полезность решения (лотереи ) равна

.

Выбор решения

Байесовский подход к выбору решения. Аналогично предыдущей задачи в условиях наличия двух альтернатив лучшее в байесовском смысле решение находится путем сравнения соответствующих полезностей:

. (1)

С учетом полученных значений полезности решений получаем:

,

после преобразований выражение имеет вид:

.

В рамках рассматриваемой задачи использование понятия «вероятность безразличия» является не корректным, в связи с тем, что принятое решение D оказывает влияние на распределение случайной величины Y.

Пример 2

Вариант 1. Пусть для разработки простого нового товара требуется вложить 1000 единиц, а для разработки инновационного товара требуется вложить 5000 единиц. Распределение вероятностей на множестве альтернатив равно:

Значения объемов продаж, получаемого владельцем предприятия при различных исходах, задаются равными:

.

Тогда полезности решений и равны

.

Байесовский подход к выбору решения. Для значений полезностей решений и выполняется соотношение . Тогда с использованием соотношения (1) Байесово решение .

Осторожный подход к выбору решения. При неблагоприятном поведении рынка увеличение объемов продаж при принятии решений и соответственно равно:

.

Поскольку осторожное решение .

Вариант 2. Рассмотрим случай, когда распределение вероятностей на множестве альтернатив равно:

.

Значения остальных переменных используются из варианта 1 примера.

Тогда полезности решений и равны

.

Байесовский подход к выбору решения. Для значений полезностей решений и выполняется соотношение . Тогда Байесово решение и совпадает с осторожным решением.