Практическая часть.
Задача 1. На вычисление максимальной прибыли. Печатный цех может производить три вида печатной продукции: А(брошюры), В(буклеты), С(листовки). Затраты сырья, запасы сырья в цеху и прибыль от реализации каждого вида печатной продукции приведены в таблице.
Вид сырья |
Затраты сырья т/т |
Запасы сырья т. |
||
Бумага |
0,8 |
0,5 |
0,6 |
800 |
Краска |
0,4 |
0,4 |
0,9 |
600 |
Лак |
- |
0,1 |
0,1 |
120 |
Прибыль руб /т |
108 |
112 |
126 |
|
Составить план производства карамели в цеху, при котором прибыль будет
максимальной.
Это задача на нахождение оптимального решения. Опишем задачу математически.
Обозначим через
Х1 - количество производимой цехом продукции А,
Х2- количество производимой цехом продукции В,
Х3- количество производимой цехом продукции С,
F- прибыль от производства всех трех видов печатной продукции.
Прибыль цеха от производства карамели всех трех видов будет описываться уравнением
F=108*Х1+112*Х2+126*Х3
И нам требуется найти максимум этой функции. Это - критерий оптимальности задачи (целевая функция). По-видимому, при производстве нельзя использовать сырья больше имеющихся в цехе запасов, т.е.
0,8*Х1+0,5*Х2+0,6*Х3<=800
0,4*X1+0,4*X2+0,3*X3<=600
0,1*X2+0,1*X3<=120
Кроме того, количество произведенной продукции не может быть отрицательным (это значило бы, что цех не производит, а покупает). Поэтому, Х1>=0,X2>=0,X3>=0.
Теперь мы имеем полное математическое описание задачи. Так как все уравнения и неравенства в этой задаче линейны, мы имеем задачу ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
Решение
задачи
в Маткаде.
Задача 2: На рацион. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку необходимо потреблять в день не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов и 8 г минеральных солей. Эти питательные вещества содержатся в разных количествах в разных пищевых продуктах. В таблице приведено количество питательных веществ в различных продуктах в г/кг и цена этих продуктов за 1 кг. Необходимо составить дневной рацион, содержащий минимальную суточную норму питательных веществ при минимальной их стоимости. ( Решить самостоятельно).
Пит. вещества |
Продукты |
||||||
Мясо |
Рыба |
Молоко |
Масло |
Сыр |
Крупа |
Картофель |
|
Белки |
180 |
190 |
30 |
10 |
260 |
130 |
21 |
Жиры |
20 |
3 |
40 |
865 |
310 |
30 |
2 |
Углеводы |
- |
- |
50 |
6 |
20 |
650 |
200 |
Минеральные соли |
9 |
10 |
7 |
12 |
60 |
20 |
10 |
Цена руб. /кг |
35 |
18 |
5 |
45 |
42 |
12 |
2 |
Обозначив через
Х1 –количество мяса,
Х2- количество рыбы,
Х3- количество молока,
Х4- количество масла,
Х5- количество сыра,
Х6- количество крупы и
Х7- количество картофеля, потребляемых человеком в день, можем составить уравнение общей стоимости F питания в день:
F = 35 X1 +18 X 2 + 5X3 + 45 X 4 + 42 X 5 +12 X 6 + 2X7
Нам нужно найти минимум F.
Суммарное количество белков в рационе человека должно быть не меньше 118 г.
Отсюда получаем
180 X1 +190 X 2 + 30 X 3 +10 X 4 + 260 X 5 +130 X 6 + 21X 7 ≥ 118
Такие же неравенства составляем для жиров, углеводов и солей. Имеем:
20 X1 + 3X 2 + 40 X 3 + 865 X 4 + 310 X 5 + 30 X 6 + 2X7 ≥ 56
50 X 3 + 6X 4 + 20 X 5 + 650 X 6 + 200 X 7 ≥ 500
9X1 +10 X 2 + 5X3 +12 X 4 + 60 X 5 + 20 X 6 +10 X 7 ≥8
Кроме того, так как человек потребляет, а не выделяет продукты, ни один из аргументов Х не может быть отрицательным.
Задача 3. Четыре предприятия данного района для производства продукции используют одно и тоже сырье. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120,50,190 и 110 единиц. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140,170 единиц. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и заданы матрицей. Здесь
- цена завоза сырья из пункта 1 в пункт 1;
- цена завоза сырья из пункта 1 в пункт 2, и т. д.
Требуется составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
Нарисуем схему возможных маршрутов перевозок:
1 2 3 4
К
уда
перевозят
