Лабораторная работа 2 Задачи линейного программирования. Решение задач с помощью MathCad. Теоретическая часть.

Во многих случаях реализация процесса управления требует затраты каких-либо ресурсов: затрат времени, расхода материалов, топлива, электроэнергии. Следовательно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, достигается ли поставленная цель, но и том, какие ресурсы придется затратить для достижения этой цели. В этом случае задача управления состоит в том, чтобы из множества решений, обеспечивающих достижение цели, выбрать одно, которое требует наименьшей затраты ресурсов.

В других случаях основанием для предпочтения одного способа управления другому

могут служить иные требования, налагаемые на систему управления: стоимость обслуживания, надежность, степень близости получаемого состояния системы к требуемому, степень достоверности знаний и т. п.

Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называется, критерием качества управления.

Наиболее предпочтительным или оптимальным способом управления будет такой, при котором критерий качества управления достигает минимального (иногда максимального) значения.

Различные виды задач управления. Различные виды задач оптимального управления отличаются друг от друга способом и последовательностью выполнения этих операций.

Одношаговые задачи. В одношаговых задачах не рассматриваются методы реализации принятого решения, т. е. определяются не величина и характер управляющего воздействия, а непосредственно значение переменной состояния системы, которое обеспечивает наилучшее достижение цели управления. В одношаговых задачах критерий качества называют обычно целевой функцией или функцией выигрыша или функцией потерь. Методы решения одношаговой задачи называются методами математического программирования.

Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а численную форму решения, т.е. дает не формулу, выражающую конечный результат, а указывает лишь вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи.

Задача линейного программирования является простейшим случаем задачи математического программирования. Метод решения таких задач разработал советский математик Канторович, за что он получил Нобелевскую премию. Задача линейного программирования состоит в следующем:

^{Дана система т линейно независимых уравнений с n неизвестными x}₁^{, x}_{2 ,…….}^x _{n ,} ^называемая системой ограничений задачи линейного программирования:

^a₁₁^x₁^+…a_1n^x _n^=b₁

……………… (1)

^a_m1^x₁^+…a_mn^x _n^=b_m

^{где, не уменьшая общности, можно считать b} _I ^{>=0 , i=1…m.}

Характерной особенностью данной задачи является то, что число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. m<n. Требуется найти неотрицательные значения переменны ^(x_i^{>=0, i=1…n), которые удовлетворяют уравнениям (1) и обращают в минимум (максимум)} критерий оптимальности, который в данном случае называют целевой функцией.

^q=c₁^x₁ ^+….c _n ^x _n^{. (2)}

Задачи линейного программирования можно решать в различных пакетах. Для этого не нужно знать математический метод их решения, но нужно уметь поставить задачу.