Міністерство науки та освіти України

Міжнародний економіко-гуманітарний університет ім. акад. С.Дем’янчука

Факультет Кібернетики

Кафедра Прикладної математики

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

З КУРСУ

„Теорія алгоритмів та математична логіка”

ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

7.080202 - Прикладна математика

7.080201 - Інформатика

Підготував: ст. викл. кафедри „Прикладної математики” Ходневич Я. В.

Рівне – 2011

Зміст

1. Вимоги до написання індивідуальної роботи................................................3

2. Індивідуальна робота №1 на тему „Логіка предикатів”. Модуль 1.

2.1. Приклади розв’язання задач.....................................................................4

2.2. Варіанти індивідуальних завдань.............................................................6

3. Індивідуальна робота №2 на тему „Теорія алгоритмів”. Модуль 2.

3.1. Приклади розв’язання задач...................................................................10

3.2. Варіанти індивідуальних завдань...........................................................13

Вимоги до написання індивідуальної роботи

Індивідуальна робота повинна бути виконана в окремому зошиті або на листках формату А4. На титульній сторінці роботи вказується:

• номер індивідуальної роботи;

• предмет індивідуальної роботи;

• варіант індивідуальної роботи;

• навчальний семестр та модуль;

• хто виконав роботу;

• хто перевірив роботу.

Індивідуальна робота виконується на протязі поточного модуля і повинна бути здана до початку наступного модуля.

Оцінювання:

Кожне завдання індивідуальної роботи оцінюється певною кількість балів. За якісне виконання всіх завдань роботи можна отримати 20 або більше балів.

Вибір варіанта завдань:

Варіант завдань індивідуальної роботи відповідає порядковому номеру студента в журналі групи.

На основі балів за індивідуальну роботу, аудиторну роботу (відвідування лекційних та практичних занять, розв’язання практичних задач, володіння теоретичним матеріалом), самостійну роботу (виконання домашніх завдань, освоєння теоретичного матеріалу, написання рефератів) та підсумкову контрольну роботу (залік, екзамен) виставляється підсумок за наступною шкалою:

90-100 балів – відмінно (А);

75-89 балів – добре (ВС);

60-74 балів – задовільно (DE);

35-59 балів – незадовільно з можливістю повторного складання (FX);

1-34 балів – незадовільно з обов’язковим повторним курсом (F).

Індивідуальна робота №3 на тему „Логіка предикатів”

4-ий семестр, модуль 1

Приклади розв’язання задач індивідуальної роботи №3

Завдання 1. Виразити область істинності формули через області істинності предикатів що в неї входять, та зобразити її на діаграмі Ейлера: .

Розв’язання׃

В даній задачі доцільно використати наступні рівності:

; ; , де - це вся область.

Перш, ніж застосовувати дані нерівності, потрібно формулу звести до ДНФ або КНФ.

Тобто, маємо:

.

Далі можна область істинності формули через області істинності :

.

Тепер можна побудувати область істинності ( Рис.1 ):

Рис.1. Діаграма Ейлера. Область істинності

Відповідь׃ вся сіра область на рис. 1. - це область істинності формули .

Завдання 2. Довести, що дана формула є логічно загальнозначущою:

.

Розв’язання׃

Для того, щоб довести, що дана формула є логічно загальнозначущою, потрібно показати, що вона приймає лише істинні значення на довільній множині значень та при будь-якій інтерпретації.

Введемо довільну інтерпретацію, тобто замінимо кожний предикат даної формули деяким відношенням ( правилом ):

” „;

” „.

Тепер дослідимо, які значення істинності приймає дана формула.

Розглянемо першу частину формули: . Дана формула, згідно властивості квантора загальності , буде приймати тільки хибні значення, тому що існує хоча б один випадок , коли . Тобто .

Розглянемо другу частину формули: . Дана формула також буде приймати тільки хибні значення істинності. Оскільки та , то .

Отже, формула при даній інтерпретації приймає тільки істинні значення, тобто .

Очевидно, що дана формула логіки предикатів на довільній множині значень та при будь-якій інтерпретації приймає тільки істинні значення, тобто вона є логічно загальнозначущою.

Відповідь׃

- логічно загальнозначуща формула.

Завдання 3. Довести, що дані дві формули є логічно рівносильними:

.

Розв’язання׃

Покажемо, що дані дві формули приймають однакові значення істинності.

Візьмемо довільну інтерпретацію і нехай в ній і - предикати, якими замінено елементарні формули і . Нехай . Тоді, не порушуючи загальності міркувань, можна вважати, що . Це означає, що предикат є виконуваний, тобто . Тому виконуваним буде предикат , тобто . Отже .

Навпаки, нехай . Тоді предикат виконуваний, тобто . За означенням диз’юнкції предикатів це можливо лише тоді, коли виконуваним (істинним) буде хоча б один з предикатів і . Але тоді має місце хоча б одна з рівностей , . Тоді .

Оскільки дані формули приймають однакові значення істинності, то вони є логічно рівносильними.

Відповідь׃

- є логічно рівносильними.

Завдання 4. Записати дане твердження символічно у вигляді формули логіки предикатів: кожний квадрат є ромбом, але невірно, що кожний ромб є квадратом.

Розв’язання׃

Вкажемо 2 предиката наступним чином:

- „чотирикутник є квадратом”;

- „чотирикутник є ромбом”.

Тоді формулу логіки предикатів, яка відповідає даному твердженню, можна записати наступним чином: .

Відповідь׃ .

Варіанти завдань індивідуальної роботи №3

Завдання 1(5 балів). Виразити область істинності формули через області істинності предикатів що в неї входять, та зобразити її на діаграмі Ейлера:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Завдання 2 (5 балів). Довести, що дана формула є логічно загальнозначущою:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. .

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

Завдання 3 (5 балів). Довести, що дані дві формули є логічно рівносильними:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

9.

10.

11.

12.

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

19.

20.

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. .

29.

30.

Завдання 4 (5 балів). Записати дане твердження символічно у вигляді формули логіки предикатів:

1. Кожний квадрат є ромбом, але не кожний ромб є квадратом.

2. Кожний квадрат є прямокутником, але існують прямокутники, що не є квадратами.

3. В кожному прямокутнику діагоналі рівні, але деякі чотирикутники з рівними діагоналями не є прямокутниками.

4. Деякі прямокутники є квадратами і деякі ромби є квадратами.

5. Жодне раціональне число не є трансцендентним і жодне трансцендентне число не є раціональним.

6. Деякі дійсні числа є алгебраїчними, а деякі не є такими.

7. Кожне дійсне число є раціональним або ірраціональним.

8. Кожне раціональне число є алгебраїчним, але деякі алгебраїчні числа не є раціональними.

9. Жодний точний квадрат не є простим числом, але деякі числа, що не є простими, є точними квадратами.

10. Кожне ціле число, яке ділиться на 6, ділиться також на 3, але деякі цілі числа, які діляться на 3, не діляться на 6.

11. Всі скінченні множини обмежені, але не всі обмежені множини є скінченними.

12. Всі правильні трикутники є рівнобедреними, а деякі рівнобедрені трикутники не є правильними.

13. Кожна збіжна послідовність є фундаментальною, але не всяка фундаментальна послідовність є збіжною.

14. Кожне ціле число, яке ділиться на 6, ділиться на 2 і на 3, і кожне ціле число, яке ділиться на 2 і на 3, ділиться на 6.

15. Кожний паралелограм має центр симетрії і будь-який чотирикутник, що має центр симетрії, є паралелограмом.

16. Кожна збіжна послідовність обмежена, але деякі обмежені послідовності не є збіжними.

17. Жодне просте число не є складеним і жодне складене число не є простим.

18. Всі натуральнв числа є цілими, але не кожне ціле число є натуральним.

19. Деякі парні числа діляться на 4, а деякі парні числа не діляться на 4.

20. Жодне парне число не є непарним і жодне непарне число не є парним.

21. Деякі точні квадрати є парними числами і деякі парні числа є точними квадратами.

22. Деякі парні числа є точними квадратами, але не кожне парне число є точним квадратом.

23. Кожний точний квадрат є складеним числом і деякі складені числа є точними квадратами.

24. Жодний точний квадрат не є простим числом і жодне просте число не є точним квадратом.

25. Всі ромби – паралелограми і деякі паралелограми є квадратами.

26. Деякі рівнобедрені трикутники прямокутні, але жодний прямокутний трикутник не є правильним.

27. Кожна скінченна множина обмежена і деякі нескінченні множини обмежені, але жодна необмежена множина не є скінченною.

28. Кожний квадрат є ромбом і кожний квадрат є прямокутником.

29. Кожна обмежена і монотонна послідовність фундаментальна, але деякі фундаментальні послідовності не є монотонними.

30. Не кожна монотонна послідовність фундаментальна і не кожна фундаментальна послідовність монотонна.