Системы массового обслуживания с отказами

Лекции. Раздел 9.3.

1.

Постановка задачи:

Одноканальная СМО представляет собой одну телефонную линию. Заявка – вызов, пришедший в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов λ = 0,8 (вызовов/минуту). Средняя продолжительность разговора =1,5 мин. Все потоки событий – простейшие.

Определить предельные (при t → ∞) значения относительной и абсолютной пропуск­ной способности системы, вероятность отказа в обслуживании.

Решение:

Система будет иметь два состояния: S₀ – линия свободна, S₁ – линия занята. Составим граф состояний СМО.

Определим интенсивность потока обслуживания:

Определим относительную пропускную способность системы:

.

В установившемся режиме система обслуживает около 45% поступивших вызовов.

Определим абсолютную пропускную способность системы:

Т.е. линия способна осуществлять в среднем 0,364 разговора в минуту.

Вероятность отказа составляет

Около 55% поступивших вызовов будет получен отказ в обслуживании.

Ответ: q = 0,455, A = 0,364, P_отк = 0,545.

Лекции. Раздел 9.4.

2.

Постановка задачи:

Многоканальная СМО представляет собой три телефонных линии (n=3). Заявка – вызов, пришедший в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов λ = 0,8 (вызовов/минуту). Средняя продолжительность разговора =1,5 мин. Все потоки событий – простейшие.

Найти вероятности состояний и определить предельные (при t → ∞) значения относительной (q) и абсолютной (A) пропуск­ной способности системы, вероятность отказа в обслуживании (P_отк), среднее число занятых каналов ( ).

Решение:

Система будет иметь четыре состояния:

S₀ – все линии свободны,

S₁ – занята одна линия,

S₂ – заняты две линии,

S₃ – заняты все три линии.

Составим граф состояний СМО:

Определим интенсивность потока обслуживания одной линии:

Вычислим приведенную интенсивность потока заявок:

Определим предельную вероятность состояния S₀ (все линии свободны) по формуле Эрланга:

Вычислим предельные вероятности остальных состояний системы:

Определим вероятность отказа как вероятность состояния S₃ (все линии заняты):

т.е. около 9% поступивших вызовов будет получен отказ в обслуживании.

Определим относительную пропускную способность системы:

.

В установившемся режиме система обслуживает около 91% поступивших вызовов.

Определим абсолютную пропускную способность системы:

т.е. система из трех линий способна осуществлять в среднем 0,728 разговора в минуту.

Найдем среднее число занятых каналов (среднее число заявок в системе):

Таким образом, в установившемся режиме работы в среднем будет занят один с небольшим канал из трех, а остальные два канала будут простаивать. Этой ценой достигается сравнительно высокий уровень эффективности обслуживания – около 91% всех поступивших вызовов будут обслужены.

Ответ: p₀ = 0,312, p₁ = 0,374, p₂ = 0,225, p₃ = 0,090, q = 0,91, A = 0,728, P_отк = 0,090, = 1,09.

3.

Постановка задачи:

В пункте видеопроката есть две копии одного фильма (n=2). Спрос на этот фильм является потоком заявок с интенсивностью λ = 1,5 (заявки/день). Если при запросе фильма, в пункте нет ни одной его копии, то клиент получает отказ. Среднее время просмотра фильма до его возврата - =1,2 дня. Все потоки событий – простейшие.

Найти вероятности состояний и определить предельные (при t → ∞) значения относительной (q) и абсолютной (A) пропуск­ной способности системы, вероятность отказа в обслуживании (P_отк), среднее число копий на руках (среднее число занятых каналов ).

Решение:

Данная многоканальная СМО будет иметь четыре состояния:

S₀ – все копии в видеопрокате,

S₁ – одна копия на руках,

S₂ – обе копии на руках.

Составим граф состояний СМО:

Определим интенсивность потока обслуживания одной линии:

Вычислим приведенную интенсивность потока заявок:

Определим предельную вероятность состояния S₀ (все копии в видеопрокате) по формуле Элронга:

Вычислим предельные вероятности остальных состояний системы:

Определим вероятность отказа как вероятность состояния S₂ (все копии на руках):

т.е. почти 37% поступивших заявок будет получен отказ в обслуживании.

Определим относительную пропускную способность системы:

.

В установившемся режиме система обслуживает около 63% поступивших заявок.

Определим абсолютную пропускную способность системы:

т.е. пункт видеопроката с двумя копиями фильма способен осуществлять в среднем 0,951 прокат в день.

Найдем среднее число выданных фильмов (среднее число обслуживаемых заявок):

Таким образом, в установившемся режиме работы в среднем будет занята одна с небольшим копия фильма из двух..

Ответ: p₀ = 0,226, p₁ = 0,408, p₂ = 0,366, q = 0,634, A = 0,951, P_отк = 0,366, = 1,14.