Идентификация внутренне линейных функций.

1.

Постановка задачи:

Решить задачу параметрической идентификации и найти параметры a₀, a₁, a₂ математической модели, имеющей следующую структуру: для наилучшего описания экспериментальных данных.

Входные воздействия	x1	2	1	2	3
	x2	1	2	3	2
Выходное воздействие	y	4	8	36	24

Решение:

1. Для приведения структуры данной математической модели к линейному виду прологарифмируем обе ее части по основанию 2:

Используя свойства логарифма (логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей), получим линейную математическую модель:

,

где .

2. Прологарифмируем исходную таблицу экспериментальных данных

Входные воздействия	z1	1	0	1
	z2	0	1		1
Выходное воздействие	w	2	3

3. Далее произведем параметрическую идентификацию получившейся линейной математической модели .

Составим сумму квадратов отклонений (функцию ошибки): ,

где N = 4 – количество экспериментов,

w_iР – расчетное значение выходного воздействия,

w_iЭ – экспериментальное значение выходного воздействия (из таблицы),

4. Минимизируем полученную функцию ошибки.

Для этого найдем нули всех частных производных функции ошибки и решим соответствующую систему линейных уравнений:

Решив эту систему линейных уравнений, получим:

5. После нахождения параметров линейной математической модели

,

выполним обратное преобразование для отыскания параметра a₀ исходной математической модели:

.

Для остальных параметров обратное преобразование не требуется, т.к. они не изменились в результате перехода к линейной модели.

Ответ: .

2.

Постановка задачи:

Решить задачу параметрической идентификации и найти параметры a₀, a₁, a₂ математической модели, имеющей следующую структуру:

Решение:

Для применения метода регрессионного анализа необходимо осуществить преобразование данной нелинейной математической модели в линейную.

_{После логарифмирования обеих частей уравнения получим:}

_{Полученное уравнение соответствует линейной математической модели}

_{Для идентификации параметров данной линейной математической модели можно применять метод регрессионного анализа.}

2.

Постановка задачи:

Решить задачу параметрической идентификации и найти параметры a₀, a₁, a₂ математической модели, имеющей следующую структуру:

Решение:

Для применения метода регрессионного анализа необходимо осуществить преобразование данной нелинейной математической модели в линейную:

_{После логарифмирования обеих частей уравнения получим:}

_{Полученное уравнение соответствует линейной математической модели}

_{Полученная таким образом линейная математическая модель имеет те же самые параметры a0, a1, a2, что и исходная нелинейная математическая модель. Для идентификации этих параметров можно применять метод регрессионного анализа, при этом необходимо осуществить пересчет входных и выходных факторов по приведенным формулам.}

Практическое занятие 2.

Моделирование функционирования систем с помощью дискретных конечных автоматов.

Лекции. Раздел 7.1.

Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются дискретные входные воздействия (сигналы) и с которого снимаются дискретные выходные воздействия; оно имеет также некоторые внутренние состояния. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-тому такту при t = 0,1,2,… через z(t), x(t), y(t). При этом, по условию z(0) = z₀, a z(t) Z, x(t) X, y(t) Y. Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0,1,2,…дискретного времени автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0) = z₀. Конечным автоматом называется такой автомат, у которого множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов являются конечными множествами. Абстрактно конечный автомат представляет собой математическую схему, характеризующуюся 6 элементами:

1. конечным множеством X входных сигналов (входной алфавит);

2. конечным множеством Z внутренних состояний (алфавитом состояний);

3. конечным множеством Y (выходным алфавитом);

4. начальным состоянием z₀;

5. функцией переходов φ (x,z);

6. функцией выходов (z,y).

В момент t, будучи в состоянии z(t-1), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x(t) X и выдать на выходном канале сигнал y(t) = [z(t-1),x(t)], переходя в состояние z(t) = [z(t-1),x(t)], z(t) Z, y(t) Y. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для автомата, называемого автоматом Мили

z(t) = [z(t-1),x(t)], t = 1,2,… ; (2.1)

y(t) = [z(t-1),x(t)], t = 1,2,… ; (2.2)

Автомат, для которого

y(t) = [z(t)], t = 1,2,3… (2.3)

т.е. функция выходов не зависит от входной переменной, называется автоматом Мура.

Чтобы задать конечный автомат, необходимо описать все элементы кортежа <Z,X,Y, z₀>. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используются табличный и графический.

Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. На пересечении i-той строки и k-того столбца помещаются соответствующие значения (z_k,x_i) и (z_k,x_i).

Для автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив так называемую отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием z_k автомат, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (2.3), выходной сигнал (z_k).

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x_k вызывает переход из состояния z_i в состояние z_j, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z_i с вершиной z_j, обозначается x_k. Для того, чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили – дуга из z_i помечается парой x_k и y = (z_i,x_k). Для автоматов Мура – дуга, направленная в z_j, - парой x_k и y = (z_j,x_k).

Постановка задачи:

Составить модель телефонного аппарата, способного «запоминать» некоторый номер и посылать в телефонную сеть соответствующую этому номеру последовательность импульсов при нажатии специальной кнопки.

Решение:

Во избежание громоздкости ограничимся рассмотрением процесса вызова абонента. Состояние аппарата в каждый момент времени  определяется указанием следующих двух независимых событий:

а) помнит ли аппарат какой-либо номер, а если помнит, то какой именно?

б) лежит ли телефонная трубка на аппарате или снята с него.

Это состояние может быть обозначено парой (N,); где N - номер, хранимый в «памяти» аппарата (если номер в памяти не хранится, то положим N=0), =1, если трубка лежит на аппарате и =0 в противном случае. Для простоты будем считать, что телефонные номера представляют собой натуральные числа от 1 до n. Тогда состояниями рассматриваемой модели будут всевозможные пары вида (N,), где N {0,1,… n},  {0,1}. Внешние воздействия на аппарат разделяем на следующие типы:

а) снятие либо опускание телефонной трубки;

б) нажатие кнопки набора номера, хранимого в памяти;

в) набор посредством номеронабирателя некоторого номера N {1,… n};

г) нажатие кнопки, «стирающей» из памяти аппарата информацию о телефонном номере;

д) отсутствие внешних воздействий.

Для перечисления внешних воздействий вводим обозначения: То – трубка снимается, Т1- трубка опускается, К – нажата кнопка набора номера N, N {1,… n}- набор телефонного номера N, С - нажата кнопка «стирания» информации, λ - нет внешних воздействий. Считается, что в каждый из выделенных тактовых моментов ₁, ₂, ₃ наблюдается ровно одно из перечисленных воздействий, относящееся к интервалу [i, i+1), i =1,2…

В качестве воздействия телефонного аппарата на среду рассматриваем последовательность импульсов, поступающих в телефонную сеть при наборе номера; эти воздействия обозначаем 0,1,2,… n, где 0 обозначает отсутствие импульсов, а 1,… n - последовательность импульсов, соответствующих номерам 1,… n.

Перейдем к описанию функционирования модели. Предположим, что в некоторый момент времени t (t =1,2,3…; по существу t здесь представляет собой номер тактового момента t) модель имеет состояние (N,), причем внешнее воздействие на модель (будем называть такие воздействия входными сигналами модели) в тот же момент времени есть v,

v {Т0, Т1, К,1,2… n, С, λ}. Для описания того, в каком состоянии модель оказывается к t+1 моменту времени, рассмотрим следующие случаи:

1. v= Т0. Если =1, то модель переходит в состояние (N,0). Если же =0, то положим, что состояние модели не изменяется.

2. v= Т1. Если =0, то модель переходит в состояние (N,1), в противном случае состояние модели не изменяется.

3. v= К. В этом случае номер, хранимый в памяти аппарата, остается записанным в ней, так что состояние модели к следующему моменту времени не изменяется.

4. v= i, i {1, 2,… n}. Если N=0, =0, т.е. трубка снята и память аппарата не хранит какого-либо номера, то к моменту t+1 номер i оказывается записанным в памяти и новое состояние модели есть (i,0). Если N0 и =0 (либо =1), то состояние модели к моменту t+1 остается прежним, равным (N,).

5. v= С. В этом случае аппарат «забывает» номер N; модель переходит к моменту t+1 в состояние (0,).

6. v= λ. В этом случае состояние модели не изменяется.

Аналогичным образом, перечисляя возможные значения v, определим воздействие w модели на внешнюю среду в момент времени t (выходные сигналы модели; появление выходного сигнала наблюдается в промежутке между моментами _t и _t+1 реального времени и связывается в модели с моментом t дискретного времени):

1. v {Т0,Т1,С, λ}. В этих случаях последовательность импульсов, соответствующих номеру абонента, в телефонную сеть не посылается, так что положим w=0;

2. v=К. Пусть сначала =0. В этом случае происходит посылка импульсов, соответствующих номеру абонента N при N0, и наблюдается отсутствие импульсов при N=0. Поэтому положим w=N. Если =1, то импульсы отсутствуют и w=0.

3. v= i, i {1,… n}. Как и в предыдущем случае, при =1 полагаем w=0. Если =0, то w=i.

На этом описание модели завершается. Приведенное описание можно сделать более наглядным, если построить диаграмму, на которой указать «переходы» модели из одного состояния в другое под действием различных входных сигналов (рис.8 для простоты n=2). Кружок соответствует состоянию (N,), стрелка - переходу под действием сигнала v (к следующему моменту времени), причем выходной сигнал равен w (дуге - пара (v, w)). Если несколько различных стрелок ведут от кружка к одному и тому же кружку, то эти стрелки объединяются в одну стрелку, а соответствующие пары

(v₁, w₁), …(v_k, w_k) записываются подряд.

Используя диаграмму, изображенную на рис. 2.1., нетрудно проследить, что под действием последовательных входных сигналов Т0, 1, С, 2, К, λ, Т1, К модель переходит из состояния (0,1) в состояние (2,1), причем возникает последовательность 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 0 выходных сигналов.

Рис. 2.1. Диаграмма переходов

Практическое занятие 3.