Предельные вероятности состояний
Лекции. Раздел 8.6.
Из уравнений Колмогорова можно вычислить вероятности состояний системы в любой момент времени pi(t). Так же можно определить предельные вероятности состояний
,
которые показывают, как долго в среднем система находится в каждом из состояний. Если число состояний системы конечно, и из каждого состояния можно перейти в любое другое (за один или несколько шагов), то предельные вероятности всегда существуют и не зависят от начального состояния системы.
Для вычисления предельных вероятностей pi необходимо в системе уравнений Колмогорова положить левые части равными нулю и решить данную систему совместно с условием нормировки:
,
где i = 0...n – индексы всех возможных состояний системы.
1.
Постановка задачи:
Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем задан в форме размеченного графа состояний системы:
При этом потоки всех переходов являются пуассоновскими.
Необходимо найти предельные вероятности состояний.
Решение:
Составим уравнения Колмогорова, при этом положим левые части равными нулю:
Решив эту систему уравнений совместно с условием нормировки
получим искомые предельные вероятности состояний системы:
Это значит, что в предельном, установившемся режиме система S будет проводить в состоянии S1 в среднем одну двадцать четвертую часть времени, в состоянии S2 – половину времени, в состоянии S3 – пять двадцать четвертых времени, и в состоянии S4 – одну четверть времени.
Ответ:
2.
Постановка задачи:
Операционная система может находиться в одном из четырех состояний:
S1 – система простаивает,
S2 – система слабо загружена,
S3 – система сильно загружена,
S4 – система перегружена и не отвечает на запросы.
Данный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем задан в форме размеченного графа состояний системы:
При этом потоки всех переходов являются пуассоновскими.
Необходимо найти предельные вероятности всех состояний системы.
Решение:
Составим уравнения Колмогорова, при этом положим левые части равными нулю:
Решив эту систему уравнений совместно с условием нормировки
получим искомые предельные вероятности состояний системы:
Это значит, что в предельном, установившемся режиме система S будет проводить в состоянии S1 в среднем 13% времени, в состоянии S2 – около 20% времени, в состоянии S3 ‑ 30% времени, и в состоянии S4 – почти 37% времени.
Ответ: .
Практическое занятие 4
Системы массового обслуживания
Лекции. Раздел 9.
Система массового обслуживания (СМО) – это система, которая состоит из одного или нескольких каналов обслуживания. СМО предназначена для выполнения потока заявок (требований), которые происходят случайным образом. Также в СМО есть случайный поток обслуживания заявок.
Любую СМО можно характеризовать определенными критериями эффективности.
Для СМО с отказами наиболее важными характеристиками являются: Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслуживать система в единицу времени; относительная пропускная способность – средняя доля обслуженных заявок в единицу времени; среднее число занятых каналов, среднее время простоя занятых каналов и системы в целом и т.д.
Для СМО с неограниченным ожиданием важны: среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и т.д.