Моделирование стохастических процессов методом статистических испытаний
Лекции. Разделы 12.2, 12.4.
В методе статистических испытаний случайное явление описывается не с помощью аналитических зависимостей, а посредством «розыгрыша» - некоторой искусственной процедуры, дающей случайный результат. В результате «розыгрыша» получается один экземпляр – одна реализация случайного явления. Произведя такой «розыгрыш» очень большое число раз, получают статистический материал – множество реализаций случайного явления – который можно обработать обычными методами математической статистики.
Термины «имитация» и «имитационный эксперимент» появились сначала в теории вероятностей и математической статистике как способ вычисления статистических характеристик интересующих нас случайных величин посредством воспроизведения реализаций соответствующего случайного процесса с помощью его математической модели. Вскоре после начала использования методов прикладной математики в управлении экономикой, планировании, исследовании операций, проектировании термины «имитация», «имитационный эксперимент» приобрели в этих областях смысл, не совпадающий с их первоначальной трактовкой. Этими терминами стали обозначать способ выбора рационального управления сложным процессом (рационального плана, рациональной конструкции проектируемого изделия), состоящий в следующем. Некоторым образом разрабатываются варианты управлений (планов, конструкций). Затем эти варианты сравниваются. Для этого при каждом таком варианте процесс (функционирование проектируемого изделия) воспроизводится с помощью его математической модели. Сравнение может происходить по некоторым формальным критериям, а может носить неформальный характер, причем чем сложнее используемая модель, чем больше она содержит реальных факторов, влияющих на принятие решений, тем более естественна неформальная оценка сравниваемых результатов. Математические модели, ориентированные на такое их использование, получили название имитационных, процесс их составления стал называться имитационным моделированием, а каждая акция воспроизведения процесса (функционирования проектируемого изделия) - имитационным экспериментом.
Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами. Результаты исследования имитационной модели, как правило, представляют собой оценки функциональных характеристик той системы, поведение которой имитируется. Так, например, при имитационном моделировании любой СМО практический интерес могут представить такие показатели, как средняя продолжительность обслуживания заявки, средняя длина очереди, доля времени простоя и т.д.
Первый шаг к созданию имитационной модели состоит в описании реально существующей системы с использованием характеристик основных событий. Событие определяется как точка во времени, в которой происходят изменения характеристик системы. Обычно изменения имеют место в тех случаях, когда кончается один процесс (или несколько процессов) и начинаются другие. Для получения требуемых результатов моделирования достаточно наблюдать систему в те моменты, когда происходят события.
1.
Постановка задачи:
Необходимо осуществить моделирование работы одноканальной СМО с ожиданием. Поступление заявок в этой системе подчинено пуассоновскому распределению со средним 3 клиента/час, а время обслуживания равно 0,2 часа с вероятностью 0,5 или 0,6 часа с вероятностью 0,5. Клиенты обслуживаются согласно дисциплине «первым пришел – первым обслуживается». Длина очереди, а также источник поступления клиентов не ограничены.
Решение:
Предположим, что в начальный момент моделирования клиентов нет. Для пуассоновского входного потока промежутки времени между требованиями имеют экспоненциальное распределение
,
где λ – интенсивность потока заявок.
По заданной плотности f(x) найдем функцию распределения:
Для того чтобы построить процедуру единичного жребия возьмем случайную величину R, распределенную с постоянной плотностью от 0 до 1. Определим, какое значение принимает случайная величина, определяющая моменты поступления заявок:
т.к. случайное число R принимает значения от 0 до 1, то величину (1-R) также можно считать случайной и распределенной от 0 до 1.
Время обслуживания также определяется по жребию:
В одноканальной системе возможны события только двух типов: поступление заявки и окончание обслуживания. Действия, вызываемые этими событиями можно охарактеризовать следующим образом:
Событие, связанное с поступлением заявки.
1. Генерация момента времени, в который поступает следующее требование на обслуживание, путем вычисления промежутка времени между требованиями p и добавления его к текущему времени моделирования (это действие необходимо для непрерывности процесса моделирования).
2. Проверка состояния системы (простой или работа).
а) Если система простаивает, то начать обслуживание поступившего клиента. Сгенерировать время обслуживания q и вычислить время окончания обслуживания (текущее время + q). Изменить состояние системы на рабочее и скорректировать протокол простоя системы.
б) Если система работает, поставить поступившего клиента в очередь и увеличить ее длину на 1.
Событие, связанное с окончанием обслуживания.
1. Проверка состояния очереди (пустая или непустая).
а) Если очередь пуста, объявить простой системы.
б) Если очередь не пуста, то начать обслуживание первого по очереди клиента, уменьшить длину очереди на 1 и скорректировать протокол времени обслуживания; получить время обслуживания клиента q и вычислить время окончания обслуживания (текущее время + q).
Приступим к построению имитационной модели. Пусть, для определенности, мы имеем из таблиц следующую последовательность случайных чисел:
R = 0,058962; 0,673284; 0,479909; 0,948578; 0,619960; 0,934123; ...
Система начинает функционирование с состояния простоя. Первая заявка на обслуживание поступает через p1 = -(1/3)ln 0,058962 = 0,94 часа.
Модель переходит из t=0 в t=0,94. В момент t=0,94 происходит событие, связанное с поступлением заявки на обслуживание, поэтому по схеме вычисляем время поступления следующего требования:
t = 0,94 + [-(1/3) ln 0,673284] = 1,07 часа
Поскольку система простаивает, начинается обслуживание поступившей заявки. Время обслуживания определяем через случайное число:
R = 0,479909 0,5 q = 0,2 часа
Время окончания обслуживания вычисляется как
t = 0,94 + 0,2 = 1,14.
Система объявляется работающей, а время простоя корректируется следующим образом:
время простоя = 0 + 0,94 = 0,94 часа.
Следующее по времени событие – поступление заявки в момент времени t = 1,07 часа. Поскольку система продолжает работать, требование ставиться в очередь, а длина очереди корректируется:
Q = 0 + 1 = 1 (в момент t = 1,07).
Следующее требование поступает в момент времени
t = 1,07 + [-(1/3) ln 0,948578] = 1,09 часа
Система находиться в рабочем состоянии, поэтому данная заявка также становиться в очередь:
Q = 1 + 1 = 2 (в момент t = 1,09),
а следующее требование поступит в момент
t = 1,09 + [-(1/3) ln 0,61396] = 1,25.
Следующее событие, происходящее в момент t = 1,14, представляет собой окончание обслуживания требования 1. Очередь не пуста, начинается обслуживание первого по очереди клиента, длина очереди изменяется:
Q = 2 - 1 = 1 (в момент t = 1,14),
а суммарное время ожидания становиться равным
W = 0 + (1,14-1,07) = 0,07 часов.
Используя R=0,934123, получаем время завершения обслуживания данного клиента:
t = 1,14 + 0,6 = 1,74
Процедура повторяется до тех пор, пока не будет промоделирован весь интервал (0,T). После этого можно определить различные операционные характеристики, исходя из периода моделирования:
Вычисление средней длины очереди осуществляется несколько иначе. Строиться гистограмма, а затем вычисляется средняя длина очереди
