Практическое занятие 1.
Построение математических моделей методом регрессионного анализа
Лекции. Раздел 6.1.
Регрессионный анализ – это наиболее известный метод построения модели идентификации. Он основан на двух предположениях: 1) метод применим только к математическим моделям линейным по идентифицируемым параметрам; 2) в качестве меры рассогласования математической модели с экспериментальными данными берется сумма квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений выходной величины.
Метод регрессионного анализа включает следующие этапы:
1. Составление суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений выходной величины (функция ошибки).
2. Минимизация функции ошибки. Для этого все частные производные функции ошибки по всем параметрам приравниваются к нулю.
3. Решение полученной системы линейных уравнений дает искомые значения параметров.
1. Корреляционный
анализ, т.е. вычисление так называемых
коэффициентов парной корреляции между
входными и выходными переменными
(здесь xi
- компонент входного вектора
).
Коэффициент парной корреляции
характеризует меру линейной зависимости
между двумя переменными xi
и у и меняется от -1 до +1. Чем ближе модуль
к 1, тем ближе изучаемая зависимость к
линейной. Значение
0 свидетельствует об отсутствии линейной
связи между xi
и у, т. е. при построении линейной
регрессионной модели переменную хi
учитывать не следует. Коэффициент парной
корреляции вычисляют по формуле [1]:
,
где (7)
N - количество опытов (повторений эксперимента),
xik - значение (экспериментальное) i-ой входной переменной для k-го опыта,
уk - значение (экспериментальное) выходной переменной для k - го опыта.
Оценку
значимости коэффициента парной корреляции
(проверку наличия корреляции) проводят
разными способами. В лабораторной работе
№1 значение коэффициента корреляции
сравнивается с некоторым его критическим
значением, если
rкрит,
то переменную xi
необходимо учитывать в зависимости (1)
для у.
Идентификация линейной функции.
1.
Постановка задачи:
Решить задачу параметрической
идентификации и найти параметры a0,
a1, a2
математической модели, имеющей следующую
структуру:
;
для наилучшего описания следующих
экспериментальных данных.
Входные воздействия |
x1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
x2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Выходное воздействие |
y |
-1 |
-3 |
3 |
1 |
Решение:
1. Составим
сумму квадратов отклонений (функцию
ошибки): 
,
где N = 4 – количество экспериментов,
yiР – расчетное значение выходного воздействия,
yiЭ – экспериментальное значение выходного воздействия (из таблицы),
2. Минимизируем полученную функцию ошибки.
3. Применим необходимое условие существования экстремума (минимума) функции многих переменных.
Если непрерывная дифференцируемая функция имеет в некоторой точке экстремум, то ее градиент (вектор частных производных) равен нулю.
4. Вычислим частные производные функции ошибки и приравняем их к нулю:
Нахождение производных
Производная от
суммы равна сумме производных слагаемых:
Производная от
сложной функции:
Производная константы равна нулю: (const)’=0
Производная
степенной функции:
5. Решим полученную систему линейных уравнений
Вычтем из
второго уравнения системы первое,
получим: 
Вычтем из первого уравнения системы третье, умноженное на 4, получим:
И из третьего
уравнения получим:
Таким образом, искомые параметры математической модели равны
.
Ответ:
