2.2 Оптимальное развитие предприятий

Задание

Необходимо минимизировать затраты на развитие предприятий на полигоне железных дорог.

Варианты заданий для самостоятельного решения задачи представлены в приложении А и принимаются по последней цифре шифра. Суммарная программа ремонта для всех вариантов принимается равной 5000 вагонов. Программа каждого предприятия может быть равной любому из следующих значений: 0, 1000, 2000, 3000 вагонов

Методические указания по выполнению задания

Необходимо минимизировать производственные затраты на развитие трех предприятий Q(X) = g₁(x₁) + g₂(x₂) + g₃(x₃) при условии, что их суммарная программа должна равняться 5000 вагонам, т. е. x₁ + x₂ + x₃ = 5000.

Программа каждого предприятия может быть равной любому из следующих значений: 0, 1000, 2000, 3000 вагонов, т. е. x₁, x₂, x₃ {0, 1000, 2000, 3000}. Функции g₁(x₁), g₂(x₂), g₃(x₃) заданы в таблице 2.1. Величины затрат указаны в миллиардах рублей.

Таблица 2.1 ‒ Исходные данные

х	0	1000	2000	3000
g1(x1)	0	1,5	2,8	4,0
g2(x2)	0	1,4	2,9	4,1
g3(x3)	0	1,3	2,7	4,2

Р е ш е н и е. Процесс решения представим в виде подробных таблиц по этапам.

Первый этап. Рассматриваем вариант развития одного любого предприятия, например первого. В этом случае имеем f₁(Z) = g₁(x₁).

Результаты первого этапа приведены в таблице 2.2. Они совпадают со значениями функции _g1(_x1) из таблицы 2.1.

Таблица 2.2 ‒ Результаты первого этапа решения задачи

Z	0	1000	2000	3000	4000	5000
f1(Z)	0	1,5	2,8	4,0	‒	‒

В этой и последующих таблицах символ «‒» означает, что функция для соответствующего значения аргумента не определена.

Второй этап. Рассматриваем совместное развитие двух предприятий по всем вариантам Z = x₁ + x₂ ≤ 5000. Значения функции g₂(x₂) + f₁(Z ‒ x₂) приведены в таблице 2.3. В последней строке этой таблицы даны значения функции f₂(Z) = min[g₂(x₂) + f₁(Z ‒ x₂)] x₂ {0, 1, 2, 3} , где _x2 приведено в тысячах вагонов.

Таблица 2.3 ‒ Результаты второго этапа решения задачи

x2	Z
	0	1000	2000	3000	4000	5000
0	0	1,5	2,8	4,0	‒	‒
1000	‒	1,4	2,9	4,2	5,4	‒
2000	‒	‒	2,9	4,4	5,7	6,9
3000	‒	‒	‒	4,1	5,6	6,9
f2(Z)	0	1,4	2,8	4,0	5,4	6,9

Поясним заполнение таблицы.

При _x2 = 0 _g2(_x2) + _f1(Z ‒ _x2) = _f1(Z), так как g₂(0) = 0. Поэтому в первую строку таблицы 2.3 заносим значение функции _f1(Z).

При x₂ = 1000 g₂(x₂) + f₁(Z ‒ x₂) для различных Z будет:

для Z = 1000 g₂(1000) + f₁(1000 ‒ 1000) = g₂(1000) + f₁(0) = 1,4 + 0 = 1,4;

для Z = 2000 g₂(1000) + f₁(2000 ‒ 1000) = g₂(1000) + f₁(1000) = 1,4 + 1,5 = 2,9;

для Z = 3000 g₂(1000) + f₁(3000 ‒ 1000) = g₂(1000) + f₁(2000) = 1,4 + 2,8 = 4,2;

для Z = 4000 g₂(1000) + f₁(4000 ‒ 1000) = g₂(1000) + f₁(3000) = 1,4 + 4,0 = 5,4;

При х₂ = 2000 для Z =1000 нет решения («--» так как Z < х₂;

для Z = 2000 g₂(2000) + f₁(2000 ‒ 2000) = g₂(2000) + f₁(0) = 2,9 + 0 = 2,9;

для Z = 3000 g₂(2000) + f₁(3000 ‒ 2000) = g₂(2000) + f₁(1000) = 1,4 + 2,8 = 4,2;

для Z = 4000 g₂(2000) + f₁(4000 ‒ 2000) = g₂(2000) + f₁(2000) = 2,9 + 2,8 = 5,7;

для Z = 5000 g₂(2000) + f₁(5000 ‒ 2000) = g₂(2000) + f₁(3000) = 2,9 + 4,0 = 6,9;

При x₂ = 3000 для Z = 1000 «‒»;

для Z = 2000 «‒»;

для Z = 3000 g₂(3000) + f₁(3000 ‒ 3000) = g₂(3000) + f₁(0) = 4,1 + 0 = 4,1;

для Z = 4000 g₂(3000) + f₁(4000 ‒ 3000) = g₂(3000) + f₁(1000) = 4,1 + 1,5 = 5,6;

для Z = 5000 g₂(3000) + f₁(5000 ‒ 3000) = g₂(2000) + f₁(2000) = 4,1 + 2,8 = 6,9;

Таким образом, мы перебрали все возможные значения _х2. В качестве значений функции _f2(Z) принимаются минимальные значения затрат по соответствующим столбцам Z.

Третий этап. Аналогично находим все значения функции которые сведены в таблицу 2.4. В последней строке этой таблицы приведены значения функции f₃(Z) = min[g₃(x₃) + f₂(Z ‒ x₃)]; x₃ {0, 1, 2, 3}; , где x₃ приведено в тысячах вагонов.

Таблица 2.4 ‒ Результаты третьего этапа решения задачи

x3	Z
	0	1000	2000	3000	4000	5000
0	0	1,4	2,8	4,0	5,4	6,9
1000	‒	1,3	2,7	4,1	5,3	6,7
2000	‒	‒	2,7	4,1	5,5	6,7
3000	‒	‒	‒	4,2	5,6	7,0
f3(Z)	0	1,3	2,7	4,0	5,3	6,7

Таким образом, при Z = 5000 _f3(Z) = 6,7 млрд руб. Чтобы определить, при каком сочетании х₁, х₂, х₃ достигается минимум затрат по таблице 2.4, определяем значение, _х3 соответствующее _f3(Z) = 6,7 Имеем, что эта величина достигается при двух значениях: х₃ = 2000 и х₃ = 1000 вагонов. Если _х3 = 2000, то х₁ + х₂ = 5000 ‒ 2000 = 3000. Для второго значения х₃ = 1000 имеем _х1 + _х2 = 5000 ‒ 1000 = 4000. По таблице 2.3 определяем, _х2 соответствующее минимуму затрат при Z = 3000. Получим х₂ = 0, Для второго значения Z = 4000 получим _х1 = 1000 Оставшиеся не установленными значения х₁ находим как х₁ = 5000 ‒ х₂ ‒ х₃. Получим для первого варианта х₁ = = 5000 ‒ 0 ‒2000 = 3000, а для второго – _х1 = 5000 ‒ 1000 ‒1000 = 3000

Следовательно, минимальные затраты будут обеспечиваться при программах:

1) х₁ + х₂ +х₃ = 3000 + 0 + 2000;

2) _х1 + _х2 +_х3 = 3000 + 1000 + 1000.

Проверим величины затрат по этим вариантам развития:

Q(X) = g₁(x₁) + g₂(x₂) + g₃(x₃)

Значения затрат берем из таблицы 2.1. Получим для первого варианта

Q(X) = g₁(3000) + g₂(0) + g₃(2000) = 4,0 + 0 + 2,7 = 6,7;

для второго –

Q(X) = g₁(3000) + g₂(1000) + g₃(1000) = 4,0 + 1,4 + 1,3 = 6,7.

Варианты заданий для самостоятельного решения задачи представлены в приложении А и принимаются по последней цифре шифра. Суммарная программа ремонта для всех вариантов принимается равной 5000 вагонов.