3. Логічні основи комп’ютерів

Алгебра логіки

В основі всіх дій, які виконує комп’ютер, лежать логічні виводи, що ґрунтуються на бульовій логіці, про яку йтиметься далі. З появою транзисторів почалося друге покоління персональних комп’ютерів, потім на основі цього розвивалися наступні покоління.

Нині широко використовується транзисторна логіка для побудови бульової логіки в обчислювальній техніці. Будь-яка інтегральна схема будується із застосуванням тригерів і логічних елементів, на основі яких можна побудувати схему будь-якої складності.

Що таке логіка і як вона причетна до побудови та роботи комп’ютерів? Логіка – це наука про закони, форми та способи мислення; вчення про способи міркувань і доведень.

Основою сучасної логіки є вчення, створені ще давньогрецькими мислителями, хоча перші вчення про форми і способи мислення виникли у Давньому Китаї й Давній Індії. Основоположником формальної логіки вважають Аристотеля (384 – 322 рр. до н. е.), який уперше відокремив логічні форми мислення від його змісту. Логіка задавала загальні правила, за якими людина мала мислити, робити висновки і приходити до істини.

Для запису тих чи інших логічних виразів використовується спеціальна мова. Її основоположником є великий німецький математик Готфрід Вільгем Лейбніц (1646 – 1716). У нього виникла думка створити нову науку – математичну логіку, в якій в якій логічні поняття позначені математичними знаками. Він зробив спробу побудувати універсальну мову, за допомогою якої суперечки між людьми можна було б розв’язувати шляхом обчислень.

Тільки через 200 років англійський математик Джордж Буль (1815 – 1864) частково реалізував ідеї Г.В. Лейбніца. Він заклав основи так званої математичної, або символічної логіки. Її суть полягає у тому, що для знаходження істинного значення складних виразів (висловлень) природної мови можна застосовувати математичні методи, не вникаючи у зміст самого висловлення. Дж. Буль створив для логічних обґрунтувань і міркувань своєрідну алгебру (алгебраїчну структуру), в якій логічні висловлення позначалися особливими символами подібно до того, як в алгебрі числа позначаються літерами. Виявилося, що, оперуючи цими символами й логічними зв’язками, можна виконувати логічні міркування шляхом звичайних обчислень.

Ця своєрідна система позначень і правил, яка, на відміну від звичайної алгебри, оперує не числами, а висловленнями, й називається алгеброю Буля, або бульовою алгеброю.

Важливість ознайомлення з цією алгеброю полягає в тому, що вона є математичною основою побудови всіх логічних схем комп’ютерів, які обробляють інформацію у двійковій системі числення.

Щоб задати алгебру, необхідно задати певну множину елементів (змінних і констант) і визначену на ній певну множину операцій. Крім цього, потрібно мати алфавіт алгебри, правила запису й перетворення формул.

В алгебрі множиною констант і змінних є множина дійсних чисел, а множина операцій включає операції додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня. Результати операцій визначають такі функції: додавання – суму, віднімання – різницю, множення – добуток та ін.. Набір операцій тут надлишковий. Наприклад, піднесення до степеня можна замінити множенням, множення – додаванням.

Розглянемо детальніше головні компоненти, необхідні для завдання бульової алгебри:

• множина логічних об’єктів (логічних виразів);

• три основні операції над логічними об’єктами;

• аксіоми й теореми, що регламентують ці операції.

Множина логічних об’єктів А (логічних висловлювань). Логічне висловлювання – це будь-яке розповідне речення, стосовно якого можна однозначно сказати, істинне воно чи хибне і таке, що не розглядається залежно від його змісту. Наведемо приклади логічних висловлювань: «сніг холодний». Це речення є висловлюванням, і при тому істинним. «Сніг теплий» – висловлювання, але хибне. «Річка рухається й не рухається» не є висловлюванням, адже з цього речення не можна зрозуміти, істинне воно чи хибне. «Котра година?» – це не висловлювання, а запитання.

Три основні операції над логічними об’єктами. Головною складовою цифрової техніки є три логічні операції, які лежать в основі всіх рішень комп’ютера: І, АБО, НЕ. Розглянемо кожну з них.

Кон’юнкція – бінарна операція, яку називають операцією логічного множення. Визначає поєднання двох логічних виразів (висловлювань) за допомогою сполучника І. Позначається *, ˄, &, «І», and. Висловлення А ˄ В істинне тоді й тільки тоді, коли обидва висловлювання А та В істинні.

Диз’юнкція – бінарна операція, яку називають операцією логічного додавання. Визначає логічне поєднання двох логічних виразів (висловлювань) за допомогою сполучника АБО, Позначається ˅, +, «АБО», or. Висловлювання А ˅ В хибне тоді й тільки тоді, коли обидва висловлювання А та В хибні.

Заперечення (інверсія) – унарна операція. Визначає заперечення виразу (висловлювання). Позначається ⌐, «НЕ», not. Висловлювання А істинне, коли хибне, і хибне, коли А істинне.

В алгебрі логіки використовуються дві додаткові операції:

1. імплікація (логічне слідування). Ця операція пов’язує два прості логічні вирази, з яких перший є умовою, а другий – наслідком з цієї умови. Операція виражається зв’язками «якщо …, то», «із…слідує» і позначається знаком →. Результатом імплікації А→В є хибність тоді й тільки тоді, коли А істинний, а наслідок В – хибний;

2. еквівалентність (рівнозначність, подвійна імплікація). Визначає результат порівняння двох простих логічних виразів А і В, позначається значками ↔ або ≈. Операція виражається зв’язками «тоді й тільки тоді», «необхідно й достатньо», «рівносильно». Результат – новий логічний вираз, який є істинним тоді й тільки тоді, коли обидва вихідні вирази одночасно істинні або хибні.

Ці дві операції можна виразити через три основні логічні операції: кон’юнкцію, диз’юнкцію, заперечення.

Імплікація виражається через диз’юнкцію й заперечення: .

Еквівалентність – через заперечення, диз’юнкцію й кон’юнкцію: .

Для графічної ілюстрації логічних операцій скористаємося діаграмами Ейлера – Вена (рис. 2.4).

Порядок виконання логічних операцій:

1. інверсія;

2. кон’юнкція;

3. диз’юнкція;

4. імплікація;

5. еквівалентність.

Для зміни зазначеного порядку виконання логічних операцій використовують круглі дужки. Наприклад: .

Логічні операції

Кон’юнкція

Диз’юнкція

Заперечення

Кон’юнкції відповідає операція перетину множин. Множина, отримана у результаті множення множин А і В, складається з елементів, які належать одночасно двом множинам

А

А

А

В

В

Логічному запереченню відповідає операція доповнення до універсальної множини. Результатом є множина, що доповнює множину А до універсальної множини

Диз’юнкції відповідає операція об’єднання множин. Множина, одержана у результаті додавання множин А і В, складається з елементів, що належать або множині А, або множині В

Рис. 2.4. Діаграма Ейлера – Вена

Аксіоми й теореми, що регламентують виконання основних операцій.

Закон асоціативності (незалежність від порідку виконання однотипних дій):

(А ˅ В) ˅ С=А ˅ (В ˅ С);

(А ˄ В) ˄ С=А ˄ (В ˄ С).

Закон комутативності (незалежність від перестановки місць:

А ˅ В = В ˅ А;

А ˄ В = В ˄ А.

Закон ідемпотентності (відсутність степенів і коефіцієнтів):

А ˅ А = А;

А ˅ А = А.

Закон дистрибутивності (розподілу):

А ˅ (В ˄ С) = (А ˅ В) ˄ (А ˅ С);

А ˄ (В ˅ С) = (А ˄ В) ˅ (А ˄ С).

Закон де Моргана:

з множини логічних висловлювань А виконується;

(заперечення варіантів);

(заперечення одночасної істинності);

(інволютивність заперечення; інволюція – це перетворення, що є зворотним самому собі).

Проведемо порівняння набору базисних операцій для деяких алгебр (табл. 2.1).

Таблиця 2.1