2.2 Элементы теории устойчивости для разностных уравнений

Пусть дано линейное разностное уравнение m-го порядка с постоянными коэффициентами

.

Тогда:

1) если все корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенству , то все решения данного уравнения будут асимптотически устойчивы;

2) если все корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенству , причем все корни являются простыми, то все решения данного уравнения будут устойчивы;

3) все решения данного уравнения будут неустойчивы во всех остальных случаях.

3 Уравнения в частных производных

3.1 Уравнения в частных производных первого порядка

Определение. Линейным уравнением в частных производных (УЧП) первого порядка называется уравнение вида

, (2)

где , и ‑ функции от , и ; ‑ неизвестная функция.

Пусть система ОДУ имеет общие интегралы и , тогда общий интеграл УЧП (2) имеет вид

.

Здесь ‑ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

3.2 Типы линейных уравнений в частных производных второго порядка

Определение. Квазилинейным уравнением в частными производными второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение

. (3)

Здесь , и ‑ непрерывные функции двух переменных и .

Определение. Решением уравнения (3) будем называть дважды непрерывно дифференцируемую функцию , которая при подстановке в уравнение (3) обращает его в верное тождество.

Таблица 10 – Типы квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка

Тип		Канонический вид	Физические задачи
гиперболический		,	Волновые процессы
параболический			Распространение тепла, диффузия
эллиптический			Стационарные явления

Таблица 11 – Приведение квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду

Уравнение характеристик
Тип		Общие интегралы уравнения характеристик	Замена переменных
гиперболический		,	,
параболический			, или
эллиптический			,

Таблица 12 – Виды задач для различных типов уравнений в частных производных

Задача		Тип
Задача Коши	уравнение в частных производных + начальные условия	гиперболический, параболический
Граничная задача	уравнение в частных производных + граничные условия	эллиптический
Смешанная задача	уравнение в частных производных + начальные условия + граничные условия	гиперболический, параболический

3.3 Задачи для гиперболических и параболических уравнений

1. Задача Коши для однородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных имеет вид:

УЧП: ( , );

НУ: , ( ).

Она имеет решение .

2. Задача Коши для однородного одномерного параболического уравнения в частных производных имеет вид:

УЧП: ( , );

НУ: ( ).

Она имеет решение .

3. Смешанная задача для однородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий имеет вид:

УЧП: ( , );

НУ: , ( );

ГУ: , ( ).

Ее решение , где , .

4. Смешанная задача для однородного одномерного параболического уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий имеет вид:

УЧП: ( , );

НУ: ( );

ГУ: , ( ).

Ее решение , где .

5. Смешанная задача для неоднородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных и однородных начальных условий имеет вид:

УЧП: ( , );

НУ: , ( );

ГУ: , ( ).

Ее решение , где

, .

6. Смешанная задача для неоднородного одномерного параболического уравнения в частных производных и однородных начальных условий имеет вид:

УЧП: ( , );

НУ: ( );

ГУ: , ( ).

Ее решение , где

, .