Б. Критерии устойчивости

Существует несколько критериев определения устойчивости систем автоматического управления.

Необходимое условие: все коэффициенты характеристического уравнения должны иметь один знак. Пример неустойчивой системы

Достаточные условия. Для системы, имеющей характеристическое уравнение на выше второго, необходимое условие является одновременно и достаточным.

Критерий Гаусса - Гурвица - для устойчивости необходимо, чтобы были положительны n определителей Гурвица.

.

Критерий Михайлова (1936 г). В этом критерии производится построение передаточной частотной функции. Об устойчивости судят по виду кривой Михайлова, представляющей годограф вектора

,

при изменении частоты от нуля до бесконечности Годограф представляет собой характеристический полином (*) замкнутой системы при замене s на j

Критерий Михайлова. Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вектор а(j ) при изменении w от 0 до  повернулся на угол против часовой стрелки, где n – степень характеристического уравнения исследуемой системы.

На рис.45 приведены примеры использования критерия Михайлова для оценки устойчивости при различной степени характеристического уравнения

а) б) в)

Рис. 45. Кривые Михайлова для устойчивых систем (а), системы c апериодической границей устойчивости (б) и колебательной границей устойчивости (в)

Критерий Найквиста (1932; 1939). Критерий основан на рассмотрении амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости соответствующей замкнутой системы. При этом АФХ разомкнутой системы может быть получена из опыта, что увеличивает ценность данного критерия.

Критерий Найквиста Замкнутая САУ устойчива, если при изменении частоты (ω) от 0 до , амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы (годограф ) охватывает точку (-1; j0) в положительном направлении, где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащая в правой полуплоскости.

На рис. 46 приведены примеры использования критерия Найквиста для оценки устойчивости различных систем

а) б)

Рис. 46. Устойчивые по Найквисту замкнутые системы, при неустойчивой (а) и устойчивой (б) разомкнутых системах

В. Критерии качества

После определения устойчивости системы автоматического управления требуется оценить ее качество. Для оценки качества разработано несколько оценок: точность работы системы, запас устойчивости и быстродействие системы. Такие оценки могут приводиться при анализе как во временной области, так и в частотной. В таблице приведены параметры, характеризирующие показатели качества для этих областей.

Область отображения	точность	запас устойчивости	быстродействие
Временная область (t)			tn
Частотная область (ω)			ωср

Точность. Рассматривается ошибка установившегося процесса при типовых воздействиях. Наиболее распространена оценка точности при воздействии единичной функции для временной области или гармонического сигнала для частотной.

Временная область.

Ошибка x(t) равна разности между заданным z(t) и фактическим y(t) значениями регулируемой величины. x(t)=z(t)-y(t).

Точность во временной области оценивают по установившейся ошибке:

.

Ошибка может быть определена по передаточной функции замкнутой системы по ошибке

или

где - передаточная функция разомкнутой системы,

Теорема о конечном значении позволяет найти установившуюся ошибку во временой области по выражениям передаточной функции

Для ступенчатого задающего воздействия z(t)=z₀·1(t). Изображение такого воздействия при использовании преобразования по Лапласу Z=z₀/p и ошибка по заданию определится по выражению

,

где K=W(0) – общий коэффициент усиления разомкнутой системы.

Ошибка для замкнутой системы определяется коэффициентом усиления К в статическом (установившемся) режиме для разомкнутой системы. Чем выше коэффициент усиления К разомкнутой системы, тем меньше ошибка системы.

Частотная область. Критерии точности в частотной области. Задающее воздействие – некая гармоника с амплитудой z_max и частотой ω_z. Ошибка будет изменяться тоже по гармоническому закону с амплитудой x_max и с той же частотой ω_z. Обычно z_max >> x_max В этом случае

и максимальная ошибка может быть определена по амплитудно-частотной характеристике данного звена

Рис.47. Определение ошибки по амплитудно-частотной характеристике звена

Запас устойчивости быстродействие. Запас устойчивости определяет отдаленность системы от границы устойчивости.

Во временной области. Оценку качества производят по кривой переходного процесса при помощи прямых показателей. Запас устойчивости характеризует перерегулирование, определяемое по переходной функции h(t).

Рис.48. Переходная функция и ограничения по качеству переходного процесса

Перерегулирование . Считается, что запас по устойчивости в норме, если .

Быстродействие системы определяют по времени переходного процесса t_п, которое ограничивается моментом, когда значение переходной функции перестает отличаться от установившегося значения на заранее определенную величину .

Методы прямой оценки запаса устойчивости и быстродействия обладают высокой наглядностью и широко применяются, особенно при компьютерном моделировании систем.

В частотной области. Показатели качества в частотной области относят к косвенным показателям. Достоинством этих показателей является возможность использования для оценки качества замкнутой системы опытные частотные характеристики разомкнутой системы или отдельных ее звеньев.

Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы

может быть записана в виде

где H(j) – амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы.

а) б)

Рис.49. Амплитудно-частотная (а) и амплитудно-фазовая (б) характеристики замкнутой системы

Чем больше пик амплитудно-частотной характеристики, тем меньше запас устойчивости, поэтому введена оценка показателя колебательности

M=H_max/H_0.

Запас по устойчивости считается удовлетворительным, если 1,1<M<1,8

Мерой быстродействия служит полоса пропускания Δω, чем больше полоса пропускания, тем выше быстродействие системы.

Оценка запаса устойчивости проводят также по логарифмической амплитудно-частотной характеристике разомкнутой системы.

Рис.50. Логарифмическая амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики разомкнутой системы

Введены следующие оценки:

Н_мах – запас устойчивости по амплитуде, показывает, на какую величину должен измениться модуль амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы на частоте, при которой γ()=-180^o, для того, чтобы замкнутая система оказалась на колебательной границе устойчивости;

γ_max – запас устойчивости по фазе, показывает, на какую величину должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе на частоте среза ω_ср, чтобы замкнутая система оказалась на колебательной границе устойчивости.

Частота среза ω_ср часто служит мерой быстродействия. Считается, если переходной процесс содержит одно-два колебания, то время переходного процесса t_п=4/_ср.

Понятие о синтезе корректирующих устройств.

Корректирующие звенья вводятся в систему для получения желаемых свойств системы. Наиболее эффективный частотный метод. При этом исходят из того, что объект регулирования задан, а синтезу подлежат корректирующие устройства или регулятор. Рекомендуется следующий порядок расчета:

cтроится логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ЛАЧХ исходной системы;

cтроится желаемая ЛАЧХ;

определяемся необходимая ЛАЧХ корректирующего устройства, как разность между исходной и желаемой ЛАЧХ;

по виду ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства определяется его структура и параметры

осуществляется техническая реализация;

проводят поверочный расчет.

На характеристике принято выделять три частотных области: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. Низкочастотная область определяет главным образом точность работы системы. Среднечастотная, прилегающая к частоте среза _ср , определяет запас устойчивости, т.е. качество переходных процессов. Высокочастотная область слабо влияет на качество процессов управления.

Рис.51. Структура логарифмической амплитудно-частотной характеристики системы

Рассмотрим общие рекомендации по формированию желаемой ЛАЧХ.

Следует стремиться, чтобы желаемая ЛАЧХ, на большем интервале частот совпадала с исходной. Это уменьшит сложность реализации корректирующих устройств. Особенно трудно обеспечить увеличение частоты среза и повысить коэффициент усиления на высоких частотах.

В низкочастотной области наклон желаемой ЛАЧХ должен составлять -20, где  – порядок астатизма системы. Астатизм системы  определяется из уравнения передаточной функции

W(p) ,

где b_i=B_i/B_m, i=0,1,2,…,m; с_i=С_i/С_n-, i=0,1,2,…,n-; K__m/C_n-.

Чаще всего =0, тогда система является статической, в противном случае - астатической.

Желаемая ЛАЧХ на частоте =1 имеет ординату 20 lg K_, где K_ - общий коэффициент усиления разомкнутой системы. Если задана допустимая ошибка при гармоническом входном воздействии, то контрольная точка А_к должна быть ниже желаемой ЛАЧХ на частоте входного воздействия _z.

В среднечастотной области наклон желаемой ЛАЧХ выбирается -20 дБ/дек, что позволяет обеспечить необходимый запас устойчивости. Чем больше протяженность участка с таким наклоном, тем больше запас устойчивости и выше качество переходного процесса.

24