Практическое занятие № 4. Обобщенный метод Ньютона

4.1. Задание

Определить распределение активной мощности между электростанциями обобщенным методом Ньютона в сочетании с методом спуска с постоянным шагом без учета потерь.

4.2. Теоретическая часть

Данный метод заключается в том, что целевая функция на каждой итерации заменяется полиномом второй степени, совпадающей в исходной точке с целевой функцией по значениям первой и второй производных. Данный метод обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса.

Целевая функция – минимум расхода топлива

B(P) = B₁(P₁) + B₂(P₂) + B₃(P₃).

Уравнение ограничений – уравнение баланса мощностей

P₁ + P₂ + P₃ – P_Н = 0.

Для уменьшения числа оптимизируемых параметров целевую функцию B(P) можно выразить только через независимые переменные P₁, P₂. Примем третий узел в качестве балансирующего, выразим мощность балансирующего узла из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию

B(P) = B₁(P₁) + B₂(P₂) + B₃(P_Н – P₁ – P₂).

Общее итерационное выражение

Направление спуска определяется как

, (4.1)

или

, (4.2)

где – направление антиградиента, – матрица Гессе (матрица вторых производных),

. (4.3)

Выражение для направления антиградиента

Общее выражение для вычисления обратной матрицы

, (4.4)

где  – определитель матрицы, – матрица миноров, полученная из матрицы Гессе вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Определитель матрицы

Обратная матрица

Длина шага при спуске с постоянным шагом задается в начале вычислений и в процессе всего решения остается постоянной q = const.

Целевая функция – минимум расхода топлива

B(P) = B₁(P₁) + B₂(P₂) + B₃(P₃).

Уравнения связи – расходные характеристики станций

Уравнение ограничений – уравнение баланса мощностей

P₁ + P₂ + P₃ – 827,1 = 0.

Выразим мощность балансирующего узла P₃ из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию

Общее итерационное выражение

Направление спуска определяется по формуле

.

Найдем выражение для направления антиградиента

Найдем матрицу Гессе

.

Начальное приближение .

I итерация

Найдем значение антиградиента в точке P⁰

Найдем направление спуска

.

Найдем матрицу, обратную матрице Гессе.

Определитель матрицы

.

Обратная матрица

.

Направление спуска

Для метода спуска с постоянным шагом принимаем длину шага q = 1.

Находим следующее приближение мощности

Находим значение функции в этой точке

Проверяем условие сходимости

условие не выполняется.

Повторяем итерации до тех пор, пока условие сходимости не будет выполняться (в тетрадях привести все итерации).

Находим значение мощностей станций

P₁ = 325,3 МВт,

P₂ = 277 МВт,

P₃ = 827,1 – 325,3 – 277 = 224,8 МВт.

4.3. Контрольные вопросы

1. Каков критерий оптимизации итерационного процесса?

2. Каковы возможные методы контроля сходимости итерационного процесса?

3. Каковы преимущества и недостатки обобщенного метода Ньютона?

4. Как выбирается направление спуска при решении задач оптимизации обобщенным методом Ньютона?

5. Какой метод оптимизации обеспечивает наилучшее схождение при аппроксимации расходных характеристик полиномом второй степени? Почему?