
- •53. Нелокальные одношаговые итер процессы неполного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
- •54. Нелокальные многошаговые итер проц неполного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
- •55. Нелокальные одношаговые итер процессы полного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
- •73. Нелокальные одношаговые итерационные процессы неполного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.
- •74. Нелокальные многошаговые итерационные процессы неполного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.
- •75. Нелок итер процессы неполного прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрер нелин оператором
- •61. О методах неполного прогноза с кубической скоростью.
- •62. О методах полного прогноза с кубической скоростью
- •63. Неполный прогноз куб скорость непрер оператор
62. О методах полного прогноза с кубической скоростью
Пусть x* - точное решение, {xk}→ x* , тогда говорят, что метод сх-ся со скоростью , если , 0<q<1. Если =1, то скорость линейная, =2 – квадратичная, =3 – кубическая.
В мет неполн прогн исп-ся , а в мет полн прогноза используется . Дост-ва: «разболтка» наступает на 1-2 порядка позже, чем в методах второго порядка (методы 2 порядка позв. получить решение с точностью до по норме невязки, а методы третьего порядка - ). Недостатки: 1) узкая область сх-ти (меньше, чем область сх-ти в методах с квадратичной скоростью); 2) сложнее программируется, занимает > памяти под дополн вектора.
Буд гов, что ф-ция f:XY диф-ма по Фреше в точке x0X, если сущ-т лин огран. оператор Df(x0)L(V,Y), для кот вып-ся усл. ||f(x0+h) ‑ f(x0)- Df(x0)h||Y=o(||h||V),где || || Y – норма в пр-ве Y,||.||V – норма в векторном пр-ве V, параллельном пр-ву X.
(1)
Шаг1.Решается 1-ое ЛУ (3)
Шаг2.2-ое ЛУ (4)
Шаг3. Вносится поправка в : (5)
Шаг4. Если то конец просчётов, иначе переход на шаг 5.
Шаг5. Если то иначе
(**)
Теорема. Пусть -решение уравнения (1) существует и выполняются следующие условия: а) б) в) г) (*). Тогда итер процесс (3)-(5) со сверхлин скор сход к . Оценки погр n-го прибл-я имеет вид .
Док-во. (6)
С учетом (4), . (7)
Оц-м и .Исп теор о среднем: , (8). откуда в силу (3), (8) ; (9)
Здесь . Далее, из (4), (9) имеем:
(10)
Подстановка (9), (10) в соотношение (7) : (11)
Пусть и , тогда (11) выглядит (12)
.
Тогда
(13). Пусть
,
тогда
,
тогда
,
след в силу (13)
.
Отсюда
.
Тогда
.
Т.о.,
монотонно возрастает, а
-
монотонно убывает с ростом n.
,
из которой следует слабая сходимость
элементов
,
генерируемых алгоритмом (2)-(5), к
.
Радиус сферы определяем стандартным образом.
Индукт пол оц-ки
Оцениваем по у и выбираем максимальное.
Переход к пределу в последнем неравенстве при n позволяет утверждать, что все последовательные приближения не выходят за пределы сферы .
63. Неполный прогноз куб скорость непрер оператор
- раздел разность 1ого поряд.
- раздел разность 2–ого порядка.
Аналог интерполяц. формулы Ньютона для операторов:
(1)
(2)
Шаг
1.
,
где
.
(3)
Шаг
2.
(4)
Шаг
3.
.
(5)
Шаг
4.
(6)
Шаг
5. Если
– конец просчетов, иначе – переход на
шаг 6.
Шаг
6. Если
,
то
,
иначе пересчет шаговой длины по формуле
.
Теорема.
Пусть в области
,
существует
-решение
уравнения f(x)=0 и выполняются следующие
условия: 1)
2)
3)
.
Тогда итерационный
процесс (2)-(6) со сверхлинейной сходится
к
.
Оценки погрешности
;
.
Док-во.
Оценим
:
О
ценим
:
где
.Возвращаемся
к оценке
:
.Тогда (14)
Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (14) .
Отсюда следует, что . Тогда
Т о, монотонно возрастает, а - монотонно убывает с ростом n. ,
Радиус сферы
Индуктивно
получ оценки
Оцениваем по у и находим максимум.
Перейдем к пределу
в посл нер-ве, след все посл-ные прибл
.
, что невоз в силу шага 5.
Замеч. Лок квадратичная скорость сх-ти процесса следует из (*) при n=1.