74. Нелокальные многошаговые итерационные процессы неполного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.

- разделенная разность 1ого поряд.

- разделенная разность 2–ого порядка.

Аналог интерполяц. формулы Ньютона для операторов:

В одношаговых м-дах исп-ся нормы , а в многошаговых в 3-х: . В методах неполного прогноза при выч-нии исп-ся норма , в м-дах полного прогноза исп-ся .

(2)

Шаг 1. Решается линейное уравнение относительно поправки

где (3)

Шаг 2. (4)

Шаг 3. Если – конец просчетов, иначе переход на шаг 4.

Шаг4. Если то иначе

Т-ма. Пусть в области , сущ -решение (1) и вып-ся след условия: a) b) с) d) .Тогда итер процесс (3)- (4) со сверхлинейной скоростью (локально с квадратичной) сход к . Оценка погрешности .

Д-во.

. . Тогда (5)

Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда . Тогда . Т о, посл-ть монотонно возрастает, а - монотонно убывает. Получ. , следует слабая сходимость элементов к . (6)

Радиус сферы определяем

Индуктивно получаются оценки .

Радиус выберем максимальный.

Покажем, что достигнет 1:

, что невозм в силу шага 4.

, если альфа=1 –лин сход-ть, =2 – квадратичная.

Замечание Локальная квадр скорость сходимости следует из (5) при _n=1.

75. Нелок итер процессы неполного прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрер нелин оператором

Оп-тор А – назыв непр на , если из в Х в У. А – непрер. во всем Х, если он непрер. в любой т-ке этого пр-ва.

- разделенная разность 1ого поряд.

- разделенная разность 2–ого порядка.

Аналог интерполяц. формулы Ньютона для операторов:

В методах неполного прогноза при выч-нии исп-ся норма , в м-дах полного прогноза исп-ся .

Дост-во: м-тод применим, когда оп-р F непр в Д, 1, 2 раздел разности равномерно огран в Д. Нед-тки: необх-ть иметь хорошие нач приближ.

(2)

Шаг 1. Решается линейное уравнение относительно поправки

(3)

Шаг 2. (4)

Шаг 3. Если – конец просчетов, иначе переход на шаг 4.

Шаг4. Если то иначе

Теорема. Пусть в области , сущ-ет -решение (1) и вып-ся след условия: a)

b) c) .

Тогда итерационный процесс (3), (4) со сверхлинейной скоростью (локально с квадратичной) сходится к . Оценки погрешности n-го приближения имеет вид .

Д-во Найдём связь между шаговыми длинами и нормами невязок:

.Тогда (5)

где .

Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда . Тогда .Т о, монот возрастает, а - монотонно. , (6)

Радиус сферы определяем

Индуктивно получаются оценки

Перейдем к пределу в последнем нер-ве при n, след послед приближения не выходят за пределы сферы .Покажем, что достигнет 1:

, что невозм в силу шага 4.

, если альфа=1 –лин сход-ть, =2 – квадратичная.

Замеч Локальная квадр скорость сходимости следует из (5) при _n=1.

61. О методах неполного прогноза с кубической скоростью.

Пусть x^* - точное решение, {x_k}→ x^* , тогда говорят, что метод сх-ся со скоростью , если , 0<q<1. Если =1, то скорость линейная, =2 – квадратичная, =3 – кубическая.

В мет неполн прогноза исп-ся , а в мет полн прогноза исп-ся . Дост-ва: «разболтка» наступает на 1-2 порядка позже, чем в методах второго порядка (методы 2 порядка позв. получить решение с точностью до по норме невязки, а методы третьего порядка - ). Недостатки: 1) узкая область сх-ти (меньше, чем область сх-ти в методах с квадратичной скоростью); 2) сложнее программируется, занимает > памяти под дополн вектора.

Буд гов, что ф-ция f:XY диф-ема по Фреше в точке x₀X, если сущ-т лин огран. опер Df(x₀)L(V,Y), для кот вып-ся усл. ||f(x₀+h) ‑ f(x₀)- Df(x₀)h||_Y=o(||h||_V),где || || _Y – норма в пр-ве Y,||.||_V – норма в векторном пр-ве V, параллельном пр-ву X.

(1)

Шаг1.Решается 1-ое ЛУ (3)

Шаг2.2-ое ЛУ (4)

Шаг3. Вносится поправка в : (5)

Шаг4. Если то конец просчётов, иначе переход на шаг 5.

Шаг5. Если то иначе

(**)

Теорема. Пусть -решение уравнения (1) существует и выполняются следующие условия: а) б) в) г) (*). Тогда итерационный процесс (3)-(5) со сверхлинейной скоростью сходится к . Оценки погрешности n-го приближения имеет вид .

Док-во. (6)

С учетом (4), . (7)

Оценим и . Используя теорему о среднем, имеем

, (8)

откуда в силу (3), (8) ; (9)

Здесь . Далее, из (4), (9) имеем:

(10)

Подстановка (9), (10) в соотношение (7) : (11)

Пусть и , тогда (11) выглядит (12)

.Тогда (13). Пусть , тогда , тогда , след в силу (13) . Отсюда . Тогда . Т образом, монотонно возрастает, а - монотонно убывает с ростом n. , из которой следует слабая сходимость элементов , генерируемых алгоритмом (2)-(5), к .

Радиус сферы определяем стандартным образом.

Индуктивно получаются оценки

_{. Оцениваем по у и выбираем максимальное.}

Переход к пределу в последнем неравенстве при n позволяет утверждать, что все последовательные приближения не выходят за пределы сферы .