2.2. Определение тройного интеграла
Возьмем произвольную фигуру в пространстве, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Условие существования объема для данной области в пространстве заключается в том, чтобы область была ограничена одной или несколькими гладкими поверхностями. В этом случае область называют кубируемой. В дальнейшем будем рассматривать только кубируемые области пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Ограниченная замкнутая область пространства называется телом.
Пусть в некотором
теле
задана функция
.
Разобьем это тело с помощью сети
поверхностей на конечное число
элементарных тел
соответственно с объемами
.
Выберем в каждом из них произвольным
образом по точке
.
Значение функции в этой точке
умножим на объем
и составим интегральную
сумму для функции
по телу
.
(2.2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Конечный предел интегральной суммы (2.2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех элементарных тел называется тройным интегралом функции в области , если он не зависит ни от способа разбиения тела на элементарные тела, ни от выбора точек Mk в каждом из них:
.
Он обозначается
символом
.
Теорема
1. (необходимое
условие существования тройного
интеграла).
Если функция
интегрируема в ограниченной замкнутой
области пространства
,
то она ограничена в этой области.
Теорема 2. (достаточное условие существования тройного интеграла). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области пространства , то она интегрируема в ней.
Из пункта
2.1. следует физический
смысл тройного интеграла.
Если функция
есть плотность распределения массы по
телу
,
то тройной интеграл от функции
в области
равен массе этого тела:
.
2.3. Свойства тройного интеграла
1.
.
2. Если умножить
интегрируемую функцию в области
на постоянную
,
то полученная функция также будет
интегрируема, и при этом
.
3. Если в области
интегрируемы функции
и
,
то интегрируема и функция
,
причем
.
4. Если в области
задана функция
и область
,
то из интегрируемости функции
во всей области
следует ее интегрируемость в областях
и
,
и обратно – из интегрируемости функции
в обеих областях
и
вытекает интегрируемость в области
.
При этом
.
5. Если для
интегрируемых в области
функций
и
выполняется неравенство
,
то
.
6. В случае
интегрируемости функции
интегрируема и функция
,
и имеет место неравенство
.
7. Теорема
О СРЕДНЕМ. Если функция
непрерывна в области
,
то найдется такая точка
в области
,
что
,
где V
– объем области (V).
2.4. Вычисление тройных интегралов
2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Тело называется правильным в направлении оси Oz, если выполняются два условия:
1) Любая прямая, проходящая через внутренние точки тела параллельно оси Oz, пересекает границу тела в двух точках;
2) Область
,
являющаяся проекцией тела
на плоскость
,
является правильной в направлении хотя
бы одной из осей координат.
Пусть тело
представляет собой «цилиндрический
брус», ограниченный снизу и сверху,
соответственно, поверхностями
и
,
проектирующимися на плоскость
в некоторую область
,
ограниченную кривой (K);
с боков тело
ограничено цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными оси Oz,
и с кривой (K) в роли
направляющей (рис.2.1).
Рисунок. 2.1
Теорема 3. Если дано тело , правильное в направлении оси Oz; функция трех переменных f (x, y, z) непрерывна в области , то
.
Если область
представляет собой криволинейную
трапецию, ограниченную двумя кривыми
(рис.2.2)
и
и прямыми
,
то
.
Рисунок. 2.2
Пример 1. Вычислить
тройной интеграл
,
где область
ограничена поверхностями x
+ y + z
= 1, x = 0, y
= 0, z = 0.