1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике

1.6.1. Вычисление объемов тел

ПРИМЕР 1. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху параболоидом и имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскости прямыми x = ±1, y = ±1.

Решение

Прежде всего, делаем чертеж (рис.1.16). В данном случае подынтегральной функцией будет . Она всюду положительна на указанном квадрате.

> with(plots):

> with(student):

> A1:=plot3d([(u),(v),(4-u^2-v^2)],u=-1..1,v=-1..1,axes=normal):

> A2:=plot3d([(u),(v),(0)],u=-1..1,v=-1..1,axes=normal):

> A3:=plot3d([(1),(u),(v)],u=-1..1,v=0..3-u^2,axes=normal):

> A4:=plot3d([(-1),(u),(v)],u=-1..1,v=0..3-u^2,axes=normal):

> A5:=plot3d([(u),(1),(v)],u=-1..1,v=0..3-u^2,axes=normal):

> A6:=plot3d([(u),(-1),(v)],u=-1..1,v=0..3-u^2,axes=normal):

> display({A1,A2,A3,A4,A5,A6},labels=[x,y,z],scaling=constrained,view = [-1.5 .. 1.5, -1.5 .. 1.5, 0 .. 4.5]);

Рисунок. 1.16

Так как основанием бруса служит прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям Ox и Oy, то пределы интегрирования по обеим переменным постоянны. По формуле (1.2^*)

получим:

V = = = =

= = – = 13 .

Вычисление интеграла в Maple происходит следующим образом:

> with(student):

> Doubleint(4-x^2-y^2, y=-1..1, x=-1..1);

> value(%);

Замечание. Задачу вычисления интеграла можно упростить, используя симметричность бруса относительно координатных плоскостей и , т.е. записав

.

ПРИМЕР 2. Вычислить объем шара, ограниченного сферой

.

Решение

В силу симметричности данного шара относительно координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его восьмой части, расположенной в первой октанте (рис. 1.17). Для иллюстрации возможностей пакета, построение проведем с использованием графических примитивов.

> restart;

> with(plottools):

with(plots):

> c:=sphere([0,0,0],1.0):

> display(c,labels=[x,y,z],scaling=constrained,view=[0..1.1,0..1.1,0..1.1],axes=normal);

Рисунок. 1.17

Подынтегральной функцией будет (корень берем с положительным знаком потому, что рассматриваемая часть шара расположена над плоскостью xOy).

Чтобы установить пределы интегрирования в формуле (1.2^*), необходимо сначала установить область интегрирования. Она ограничена пересечением плоскости xOy с поверхностью шара. Чтобы получить это пересечение, положим в уравнении поверхности шара z = 0.

Полученная окружность и будет контуром области задания функции .

При нашем упрощении задачи областью интегрирования будет часть круга, расположенная в первой четверти плоскости xOy. Взяв постоянные пределы интегрирования по x (0 ≤ x ≤ R), получим пределы по y: 0 – нижний, - верхний. По формуле (6) будем иметь:

.

Для вычисления внутреннего интеграла сделаем подстановку . Тогда и

(пока x постоянная!). Следовательно, , откуда

Вычисление интеграла в Maple происходит следующим образом:

> with(student):Doubleint(8*sqrt(R^2-x^2-y^2), y=0..sqrt(R^2-x^2), x=0..R);

> value(%);

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно было воспользоваться и переходом к полярной системе координат.

ПРИМЕР 3. Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью xOy, сверху плоскостью , с боков цилиндрической поверхностью и плоскостью .